Lineare Gleichungssysteme (LGS)

Wenn mehrere lineare Gleichungen gleichzeitig erfüllt sein sollen, nennt man dies ein lineares Gleichungssystem (LGS). Wenn es z. B. die drei Variabeln x₁, x₂ und x₃ gibt, sieht ein allgemeines LGS aus drei Gleichungen folgendermaßen aus:

\(\begin{matrix} \text{(I)} &a_{11}x_1& +& a_{12}x_2&+&a_{13}x_3&= &b_1\\ \text{(II)} &a_{21}x_1& +& a_{22}x_2&+&a_{23}x_3&= &b_2\\ \text{(III)} &a_{31}x_1& +& a_{32}x_2&+&a_{33}x_3&= &b_3 \end{matrix}\)

 Die reellen Zahlen \(a_{11}, ... , a_{33}\) heißen die Koeffizienten. Wenn man diese zur Koeffizientenmatrix A = (a_ij), die drei Variablen zum Vektor \(\vec x\) und die drei Konstanten auf der rechten Seite zum Vektor \(\vec b\) zusammenfasst, kann man das LGS auch als lineare Matrix-Vektor-Gleichung schreiben:

\(A\cdot \vec x = \vec b\)

Anmerkung: Dies ist der Grund, warum LGS oft in der Analytischen Geometrie bzw. Linearen Algebra zusammen mit anderen Matrix- bzw. Vektorthemen behandelt werden.

Wenn der Vektor \(\vec b\) gleich dem Nullvektor ist (\(b_1=b_2=b_3=0\)), dann heißt das Gleichungssystem homogen, ansonsten inhomogen.

Eine Lösung eines LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten ist immer ein Zahlentripel (x₁|x₂|x₃), ein einzelner Wert von x₁ oder x₂ kann niemals eine Lösung des ganzen Systems sein. In Matrix-Vektor-Schreibweise sieht man das sofort ein: Nur der komplette Vektor \(\vec x\) kann die Matrix-Vektor-Gleichung erfüllen. In diesem Sinne kann man die Lösungsmenge eines LGS auch als Vektoren und damit als Punkte im dreidimensionalen Raum auffassen (oder in der Ebene, wenn es nur zwei Variablen gibt – oder, wenn man sich ganz mutig fühlt, bei n Variablen als Punkte im n-dimensionalen Vektorraum \(\mathbb R^n\)).

Es gibt verschiedene Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme, die bekanntesten sind

• das Additionsverfahren,
• das Einsetzungsverfahren,
• das Gleichsetzungsverfahren sowie
• als „Standard-Kombination“ das Gauß’sche Eliminationsverfahren.

Beispiel:
Ein einfaches Beispiel für ein lineares Gleichungssystem ist das folgende inhomogene LGS:

\(\begin{matrix} &(\text I)& x_1 &+& x_2 &+& x_3 &=& 1 \\ &(\text{II})& 2 x_1 &-& x_2 &-& 3 x_3 &=& - 2 \\ &(\text{III})& 3 x_1 &+& 2 x_2 &-& 2 x_3 &=& - 5 \end{matrix}\)

In den Lexikonartikeln zu den einzelnen Lösungsverfahren wird jeweils dieses Gleichungssystem gelöst.

Ein wichtiges Hilfsmittel beim Untersuchen und Lösen eines LGS ist die Determinante der Koeffizientenmatrix. Man kann damit nicht nur herausfinden, ob ein System keine, genau eine oder unendliche viele Lösungen hat, sondern sogar mithilfe der Cramer’schen Regel die Lösungen explizit ausrechnen. Leider ist Letzteres aber nur für zwei Variablen wirklich praktikabel, bei drei und vor allem bei mehr als drei Variablen wird die Anwendung dieser Regel sehr unübersichtlich.