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Lexikon Mathe

Lagebeziehungen von Funktionsgraphen

Die Lagebeziehungen von Funktionsgraphen sind im Prinzip sehr ähnlich wie bei Geraden im Raum, allerdings beschränkt man sich zum einen auf die zweidimensionale Ebene mit dem kartesischen Koordinatensystem („Achsenkreuz“) und erlaubt dafür zum anderen auch gekrümmte Kurven, sofern sie als Graph einer differenzierbaren Funktion gegeben sind.

Die Graphen von linearen Funktionen sind Geraden. Sind zwei solche Geraden durch die Funktionsgleichungen f1(x) = m1x + b1 und f2(x) = m2x + b2 gegeben, dann erhält man die x-Koordinate ihres Schnittpunkts durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen m1x + b1 m2x + b2. Den Schnittwinkel \(\alpha\) berechnet man mithilfe ihrer beiden Steigungen:

\(\displaystyle \tan \alpha = \frac{m_1-m_2}{1 + m_1m_2}\)

Streng genommen gilt dies nur, wenn \(m_1m_2 \ne -1\), da in diesem Fall der Nenner null würde. Dies bedeutet aber hier einfach nur, dass der Tangens von \(\alpha\) unendlich groß wird, also \(\alpha = 90°\), die Geraden stehen dann also senkrecht aufeinander.

Wenn im anderen Extremfall m1 = m2 ist, wird \(\displaystyle \tan \alpha = 0 \ \ \Rightarrow \ \ \alpha = 0\) und die Geraden sind parallel (sie haben dann ja auch die gleiche Steigung!).

Wenn die betrachteten Funktionen nicht linear, aber differenzierbar sind, untersucht man die Steigungen ihrer Tangenten am Schnittpunkt, also die Werte ihrer ersten Ableitungen an dieser Stelle.

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