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Lexikon Mathe

Lagebeziehungen im Raum

Mit dem Begriff „Lagebeziehung“ fasst man man in der Geometrie die Fragen nach Parallelität, Orthogonalität und gemeinsamen Punkten (Schnittpunkten bzw. -geraden) von Objekten zusammen. Während dies in der Ebene (also der zweidimensionalen Geometrie) oft noch relativ leicht zu beantworten ist (im Zweifelsfall mithilfe der Winkelfunktionen), braucht man im Raum dafür die Mittel der Analytischen Geometrie.

Im Einzelnen betrachtet man

  • Die Lage zweier Geraden: Wenn zwei Geraden keine gemeinsamen Punkte haben, sind sie parallel oder windschief, andernfalls haben sie entweder genau einen Schnittpunkt, den man durch Gleichsetzen der Geradengleichungen bestimmt, oder sie sind komplett identisch.
     
  • Die Lagebeziehung zwischen einer Geraden und einer Ebene: Die Gerade kann die Ebene in genau einem Punkt schneiden oder aber parallel zu ihr verlaufen, und zwar letzteres entweder in der Ebene (alle Punkte der Gerade sind Teil der Ebene) oder außerhalb von ihr (kein gemeinsamer Punkt).
    Eine Gerade ist genau dann parallel zu einer Ebene, wenn ihr Richtungsvektor senrecht auf dem Normalenvektor der Ebene steht.
    Lagebeziehungen im Raum - Abbildung 1

    Die Gerade verläuft komplett in der Ebene, wenn sie zu ihr parallel ist und es (mindestens!) einen gemeinsamen Punkt von Gerade und Ebene gibt.
    Die Gerade steht senkrecht auf der Ebene, wenn ihr Richtungsvektor parallel zum Normalenvektor der Ebene ist.
     
  • die Lage zweier Ebenen: Zwei Ebenen sind identisch, parallel oder sie schneiden sich in einer Gerade, der Schnittgeraden, die man durch Gleichsetzen der Ebenengleichungen bestimmt.
    Lagebeziehungen im Raum - Abbildung 2

    Parallele Ebenen haben parallele Normalenvektoren, aufeinander senkrechte Ebenen haben senkrechte Normalenvektoren.
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