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Lexikon Mathe

Kumulierte Verteilung

Eine kumulierte oder kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung (auch Summenvertielung) gibt die Wahrscheinlichkeit von „Höchstens-Ereignissen“ an: „Wie wahrscheinlich ist es, dass ich höchstens zwei Sechsen bekomme, wenn ich fünfmal würfele?“ In diesem Fall bekommt man die Antwort mit der kumulierten Binomialverteilung:

\(P(X \le 2) = F_{5;\frac{1}{6}}(2) = \displaystyle \sum_{j=0}^2 B_{5; \frac{1}{6}}(j)= ​ \sum_{j=0}^2 \begin{pmatrix}5\\j\end{pmatrix} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^j \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{5-j}\)

Bn;p(k) ist dabei die (nichtkumulierte) Binomialverteilung und die Zufallsvariable X gibt an, wie viele Sechsen gewürfelt werden.

Wenn man wissen will, wie wahrscheinlich mindestens zwei Sechsen kommen, benutzt man einfach die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses („mindestens zwei Sechsen“ ist das Gegenereignis von „höchstens eine Sechs“):

\(P(X \ge 2) = 1-P(X \le 1) = 1 - F_{5;\frac{1}{6}}(1)\)

Bei einer kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die kumulierte Verteilung das uneigentliche Integral von \(-\infty\) bis zum interessierenden Wert x, etwa bei der Standardnormalverteilung:

\(P(X \le x) = \Phi(x) = \displaystyle \int_{- \infty}^x \phi(t)\text{d}t = \frac{1}{\sqrt{-2\pi} } \int_{- \infty}^x \text e^{\frac{-t^2 }{2} } \text{d}t\)

Achtung: Die Bezeichnungen sind in diesem Bereich nicht ganz eindeutig. Oft wird auch die (kumulierte) Funktion \(\Phi(x)\), die die „Höchstens-Wahrscheinlichkeit“ angibt, als Wahrscheinlichkeitsverteilung oder Verteilungsfunktion bezeichnet. Die Funktion \(\phi(t)\) unter dem Integral, welche sozusagen die Wahrscheinlichkeit für einen beliebig engen Bereich um den Wert t angibt, heißt dann Wahrscheinlichkeitsdichte.

 

 

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