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Lexikon Mathe

Kumulierte Binomialverteilung

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei einer Bernoulli-Kette höchstens k-mal Erfolg gezogen wird. Wenn die Zufallsvariable X die Zahl der „Erfolge“ beschreibt, ist

\(P(X \le k) = \displaystyle F_{n;p}(k) = \sum_{j=0}^k B_{n; p}(j)= ​ \sum_{j=0}^k \begin{pmatrix}n\\j\end{pmatrix} \cdot p^j \cdot (1-p)^{n-j}\)

dabei sind Bn;p(k) die Binomialverteilung, \(n \in \mathbb{N}\), \(0 \le p \le 1 \), \(k \in \{0; 1; \ldots n\}\) und X ist die Zufallsvariable, die beschreibt, wie oft bei n Versuchen „Erfolg“ herauskommt. Der Ausdruck \(\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\) heißt Binomialkoeffizient.

Wenn man wissen möchte, wie wahrscheinlich es ist, mindestens k „Erfolge“ zu bekommen, verwendet man die Gegenwahrscheinlichkeit:

\(P(X \ge k) = 1 - P(X \le k - 1) = \displaystyle 1 - F_{n;p}(k-1) = 1 - \sum_{j=0}^{k-1} B_{n; p}(j)\)

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