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Lexikon Mathe

Kubische Gleichungen

Eine kubische Gleichungen ist eine Polynomgleichung dritten Grades. Der Name kommt daher, dass 3 die höchste Potenz der Variablen x ist, genau wie bei der Volumenformel eines Würfels (lateinisch „cubus“).

Kubische Gleichungen kann man dann „lösen“, wenn man eine Lösung x1 entweder schon kennt oder durch Ausprobieren oder Genialität errät (Tipp: In Schulaufgaben ist in solchen Fällen sehr häufig 1 oder –1 eine solche Lösung). Dann dividiert man das kubische Polynom durch den Faktor (x – x1(Polynomdivision). Man erhält dann eine quadratische Gleichung, und mit Mitternachts- oder pq-Formel daraus die anderen beiden Lösungen.

Beispiel:
\(x^3-3,5x^2+x+1,5\)
Einsetzen von x = 1 führt auf 1 – 3,5 + 1 + 1,5 = 0, also ist x1 = 1 die erste Lösung.
Polynomdivision: \((x^3-3,5x^2+x+1,5) : (x - 1) = x^2-2,5x -1,5\)  (hier nicht ausgeführt)
pq-Formel: Die anderen beiden Lösungen sind \(x_{2;\,3} = \dfrac 5 4\pm \sqrt{\dfrac {25}{16}+\dfrac 3 2}=\dfrac 5 4\pm\dfrac 7 4\),  also  \(x_2 = -\dfrac 1 2\)  und  x3 = 3

 

 

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