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Lexikon Mathe

Krümmungsverhalten von Funktionsgraphen

Das Krümmungsverhalten von Funktionsgraphen lässt sich anschaulich folgendermaßen beschreiben:

  • Wenn man (in Gedanken) mit dem Fahrrad den Graph von links nach rechts (also von negativen zu positiven x-Werten) und den Lenker nach rechts einschlägt, hat der Graph Rechtskrümmung bzw. ist konvex.

  • Muss man den gedanklichen Fahrradlenker nach links einschlagen, hat der Graph Linkskrümmung bzw. ist konkav.

  • Hält man den Lenker gerade, ist auch der Graph eine Gerade und der Graph hat die Krümmung 0.

Krümmungsverhalten von Funktionsgraphen - Abbildung 1

Mathematisch entspricht die Krümmung des Funktionsgraphen dem Zahlenwert der zweiten Ableitung \(f''(x)\) der betrachteten Funktion (sofern diese existiert). Bei Rechtskrümmung ist \(f''(x)<0\), weil die erste Ableitung, d. h. die Steigung des Graphen, abnimmt. Umgekehrt nimmt die Steigung des Graphen bei Linkskrümmung zu, daher ist dann \(f''(x)>0\). Bei \(f''(x)=0\) ist die Steigung konstant, was genau der Definition einer Geraden entspricht.

Das Krümmungsverhalten eines Graphen ist ein Kriterium zur Beurteilung, ob an einer Extremstelle ein Maximum oder ein Minimum vorliegt:

  • An einem Maximum herrscht immer Rechstkrümmung (\(f''(x)<0\)),

  • an einem Minimum immer Linkskrümmung (\(f''(x)>0\)).

 

 

 

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