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Lexikon Mathe

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt ist neben dem Skalarprodukt die zweite Möglichkeit, zwei 3er-Vektoren (Vektoren mit drei Komponenten) miteinander zu multiplizieren. Anders als bei letzterem, wo das Ergebnis eine Zahl, also ein Skalar ist, ergibt sich beim Kreuzprodukt (kein Kreuz, sondern) ein Vektor, weswegen man auch vom Vektorprodukt spricht. Die häufiger verwendete Bezeichnung „Kreuzprodukt“ kommt daher, dass das Multiplikationszeichen ein „ד ist.

Das Kreuzprodukt \(\vec a \times \vec b\) zweier dreikomponentiger Vektoren \(\vec a \) und \(\vec b\)

  • ist ebenfalls ein Vektor mit drei Komponenten,
  • steht auf den beiden Vektoren \(\vec a \) und \(\vec b\) senkrecht,
  • zeigt in die Richtung, des Mittelfingers der rechten Hand, wenn \(\vec a \) in die Richtung von deren Daumen und \(\vec b\) in die Richtung von deren Zeigefinger zeigt,
    Kreuzprodukt - Abbildung 1
  • hat, wenn die Vektoren \(\vec a \) und \(\vec b\) in einem Winkel \(\varphi\) zueinander stehen, den Betrag \(\left| \vec a \times \vec b \right| = \left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right| \cdot \sin\varphi\), d. h.:
  • wenn die Vektoren \(\vec a \) und \(\vec b\) zueinander parallel sind, ist das Kreuzprodukt null, und
  • wenn die Vektoren \(\vec a \) und \(\vec b\) aufeinander senkrecht stehen, hat das Kreuzprodukt den maximalen Betrag \(\left| \vec a \right| \cdot \left| \vec b \right|\).

Für die Berechnung der Komponenten hält man sich (wenn man kein geeignetes Software-System zu Hilfe nimmt) am besten an das folgende Schema:

Kreuzprodukt - Abbildung 2

Etwas formaler kann man auch schreiben: \(\vec a \times \vec b = \det\begin{pmatrix} \vec e_1 & a_1 & b_1 \\ \vec e_2 & a_2 & b_2 \\ \vec e_3 & a_3 & b_3\\ \end{pmatrix}\), dabei steht „det“ für die Determinante der nachfolgenden Matrix und \(\vec e_i\) ist der Einheitsvektor in Richtung der i-ten Koordinatenachse.

Man erkennt, dass sich dieses Schema anders als die Berechnung des Skalarprodukts nicht sinnvoll auf zwei (oder vier) Dimensionen übertragen lässt – das Kreuzprodukt gibt es in dieser Form nur im dreidimensionalen Raum!

Rechenregeln:

  • Man kann das Kreuzprodukt ausklammern (Distributivgesetz): \(\vec a \times (\vec b + \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c\)
  • Das Kommutativgesetz gilt dagegen nicht, das Kreuzprodukt ist stattdessen „antikommutativ“: \(\vec a \times \vec b = -( \vec b \times \vec a)\)

Das Kreuzprodukt taucht an verschiedenen Stellen in der Analytischen Geometrie auf, z. B. im Spatprodukt oder bei der Berechnung des Normalenvektors einer Ebene.

 

 

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