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Lexikon Mathe

Körper (Zahlenmenge)

Eine nichtleere Menge von Zahlen heißt Körper, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:

  • Es gibt die zwei Rechenoperationen Addition und Multiplikation, für die jeweils das Assoziativ- und das Kommutativgesetz gelten. Jede Summe und jedes Produkt von zwei Elementen des Körpers sind ebenfalls Elemente des Körpers.
  • Addition und Multiplikation besitzen jeweils ein neutrales Element (0 bzw. 1) und zu jedem Element x der Menge gibt es sowohl ein additives (–x) als auch ein multiplikatives (\(\dfrac 1 x\)) inverses Element (mit Ausnahme der 0, die ist ihr eigenes additives Inverses, hat aber kein multiplikatives inverses Element).
  • Es gilt das Distributivgesetz.

Anmerkung: Man kann Körper noch allgemeiner und abstrakter auch für andere Objekte als Zahlen und andere Verknüpfungen als „Plus“ und „Mal“ definieren, das würde hier aber bei Weitem zu weit führen.

Beispiele:
Die Mengen \(\mathbb Q\) der rationalen und \(\mathbb R\) der reellen Zahlen sind beide Körper.

Die ganzen Zahlen bilden keinen Körper da keine ganze Zahl ein multiplikatives Inverses hat (das wären ja die Stammbrüche).

Auch die Menge \(\mathbb B\) der Bruchzahlen ist kein Körper – hier gibt es zwar multiplikative inverse Elemente, aber dafür keine additiven.

Die Menge {0; 1} ist dagegen ein Körper, wenn man festsetzt, dass 1 + 1 = 0 gilt („alle“ anderen Rechenoperationen sind wie gewohnt definiert)!

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