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Lexikon Mathe

Koordinatensystem

Ein Koordinatensystem ist ein Bezugsrahmen, in dem man die Position eines Punkts eindeutig durch Zahlen beschreiben kann. Wie viele Zahlen nötig sind, hängt davon ab, mit wie vielen „Dimensionen“ man es zu tun hat: In der zweidimensionalen Ebene oder auf der ebenfalls zweidimensionalen Erdoberfläche reichen zwei Zahlen (x und y bzw. geografische Breite und Länge), im dreidimensionalen Raum müssen es drei Zahlen sein (Länge, Breite, Tiefe oder Rechtswert, Hochwert, Meereshöhe). Übrigens kann man auch die Zahlengerade als ein Koordinatensystem ansehen: nämlich eines mit nur einer Dimension.

Man sollte für jede Koordinatenachse immer auch die gewählte Längeneinheit angeben, oft (aber nicht immer) ist es sinnvoll, auf allen Achsen dieselben Einheiten zu verwenden. Speziell in der Physik werden auch andere Größen als Entfernungen in einem Koordinatensystem abgtetragen, z. B. elektrische Stromstärke und Spannung – auch dort muss immer die gewählte Einheit angegeben werden.

Es gibt viele Arten von Koordinatensystemen, besonders wichtig sind

Eine besondere Rolle spielt der Nullpunkt eines Koordinatensystems, den man oft auch als Ursprung bezeichnet. Die Koordinaten bzw. Komponenten eines Punkts oder eines Vektors sind die Abstände auf der jeweiligen Koordinatenachse vom Ursprung. Darum ändern sich die Komponenten eines Vektors, wenn man den Ursprung verschiebt oder wenn man die Koordinatenachsen um den Ursprung dreht – ohne dass sich am Vektor selbst etwas geändert hätte. Beispielsweise liegt Hannover von Dortmund aus gesehen gut 200 km im Osten, von Berlin aus gesehen dagegen 280 km im Westen, und es handelt sich dabei ganz eindeutig um dieselbe Stadt. Deswegen sollte man bei Punkten und Vektoren (und ebenso bei Matrizen) immer genau zwischen dem Punkt oder Vektor selbst und seiner Darstellung durch Koordinaten bezüglich eines bestimmten Koordinatenursprungs und entlang eines bestimmten Satzes an Koordinatenachsen unterscheiden, auch wenn das manchmal etwas penibel aussehen mag.

In der Analytischen Geometrie werden die Achsen eines Koordinatensystems manchmal durch Einheitsvektoren (Vektoren mit dem Betrag 1) in Richtung dieser Achsen angegeben. Alle Achsen-Einheitsvektoren bilden zusammen eine sog. Basis des gewählten Bezugssystems.

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