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Lexikon Mathe

Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz oder Vertauschungsgesetz ist ein grundlegendes Rechengesetz, das für die Addition und Multiplikation von Zahlen sowie für die Addition von Vektoren und Matrizen und das Skalarprodukt von Vektoren gilt. Das Kreuzprodukt von Vektoren und die Matrizenmultiplikation sind dagegen nicht kommutativ!

Für die Addition und Multiplikation lautet das Kommutativgesetz:

\(\begin{matrix}a + b &=& b + a\\ a · b &=& b · a \end{matrix}\)

Beispiele:
\(\begin{matrix}3 + 5 &=& 8 &=& 5 + 3 \\ 4 · 6 &=& 24 &=& 6 · 4 \end{matrix} \)

 

Für Differenzen und Divisionen gilt das Kommutativgesetz zunächst einmal nicht (bei der Division müssen im Folgenden \(a, b \ne 0\) sein):

\(\begin{matrix}a - b &\ne& b - a\\ a : b &\ne& b : a \end{matrix} \)

Beispiele:
\(\begin{matrix}3 - 5 &=& -2 &\ne & 5 - 3 = 2 \\ 4 : 6 &=& \dfrac 2 3 &\ne& 6 : 4 = \dfrac 3 2 \end{matrix} \)

Mithilfe von negativen Vorzeichen („Minus“) und Kehrwerten kann man es aber in gewisser Weise auch auf diese Fälle anwenden

\(\begin{matrix}a - b = a + (-b) = (-b) + a = - b + a\\ \displaystyle a : b = a \cdot \frac 1 b = \frac 1 b \cdot a = \frac 1 b : \frac 1 a \end{matrix} \)

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