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Lexikon Mathe

Kombinationen

Unter einer Kombination versteht man in der Kombinatorik eine ungeordnete Auswahl von k Elementen aus einer Menge mit n Elementen. Anders als bei Variationen und Permutationen  spielt hier also die Reihenfolge der ausgewählten Elemente keine Rolle. Wenn Wiederholungen ausgeschlossen sind, sind die Kombinationen einfach die Teilmengen dieser Menge. So hat z. B. die Menge {X; Y; Z} nur die drei verschiedenen 2-Kombinationen {X; Y}, {X; Z} und {Y; Z}, da nicht zwischen {X; Y} und {Y; X} unterschieden wird. Andernfalls kommen noch die drei Kombinationen {X; X}, {Y; Y} und {Z; Z} hinzu. Eine Kombination ist dann weiterhin eine Menge, die nur Elemente aus der ursprünglichen Menge enthält, sie kann nun aber wegen der möglichen „Mehrfachnennungen“ sogar mehr Elemente als der ursprüngliche enthalten.

Allgemein hat man bei n Elementen im Fall „keine Wiederholungen\(\displaystyle \frac{n!}{(n-k)!\cdot k!} = \begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\) verschiedene k-Kombinationen. Beispiel: Bei der Ziehung der Lottozahlen „6 aus 49“ gibt es \(\dfrac{49!}{6!\cdot(49-6)!}=\dbinom{49}{6}=13\ 983\ 816\) verschiedene Tippmöglichkeiten (und eine entsprechend kleine Chance auf den Hauptgewinn). In einem Urnenmodell entspricht dieser Fall dem Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

Im Fall „Wiederholungen erlaubt“ gibt es \(\displaystyle \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!\cdot k!} = \dbinom{n+k-1}{k}\) verschiedene k-Kombinationen. Dies entspricht im Urnenmodell dem Ziehen mit Zurücklegen, wiederum ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.

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