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Lexikon Mathe

Irrationale Zahlen

Die irrationalen Zahlen sind alle Zahlen, die sich nicht als Quotient bzw. Verhältnis (lateinisch „ratio“) aus zwei ganzen Zahlen schreiben lassen, also nicht zur Menge \(\mathbb Q\) der rationalen Zahlen gehören. Die irrationalen und die rationalen Zahlen bilden zusammen die Menge \(\mathbb R\) der reellen Zahlen. (Es gibt keinen speziellen „Mengenbuchstaben“ für die Menge der irrationalen Zahlen, man kann sie beispielsweise als \(\mathbb R \setminus \mathbb Q\) schreiben.

Den Unterschied zwischen rationalen und irrationalen Zahlen erkennt man an ihrer Darstellung als Dezimalzahlen

Es gibt unendlich viele irrationale Zahlen, es liegen sogar auf der Zahlengeraden zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen immer noch unendlich viele irrationale Zahlen.

Zu den irrationalen Zahlen zählen:

  • die Wurzeln aus rationalen Zahlen, die keine Quadratzahlen oder Quotienten aus Quadratzahlen sind bzw. die n-ten Wurzeln aus Zahlen, die man nicht als xn schreiben kann
    Annmerkung: Die Wurzeln aus rationalen Zahlen und die rationalen Zahlen selbst werden zusammen auch als algebraische Zahlen bezeichnet, weil sie die Lösungen von „algebraischen“ Polynomgleichungen sind. Alle übrigen reellen Zahlen nennt man transzendente Zahlen (lateinisch „die Grenze übersteigend“), diese sind „erst recht“ irrational.
  • die Kreiszahl \(\pi\)
  • die Euler’sche Zahl e
  • die meisten Funktionswerte der trigonometrischen Funktionen (z. B. sin 1) und der Logarithmusfunktionen (z. B. ln 2)
  • die Zahl \(2^{\sqrt 2}\)
  • die Zahl 1,01001000100001000001…, die per Konstruktion eine weder abbrechende noch periodische Dezimalzahl ist

Anmerkung: Der Beweis, dass die Zahl \(\sqrt 2\) irrational ist, ist ein schönes Beispiel dafür, wie man mit einem verhältnismäßig einfachen Gedankengang etwas ausgesprochen Grundlegendes klären kann. Es handelt sich dabei um einen sog. indirekten Beweis, d. h., man nimmt erst das Gegenteil der zu beweisenden Aussage an und zeigt dann, dass dieses nicht stimmen kann.

Annahme: \(\sqrt 2 \in \mathbb Q^+\), also \(\sqrt 2 = \dfrac r s\) mit zwei teilerfremden natürlichen Zahl r und s.

Dann ist \(2 = \dfrac {r^2 }{s^2} \ \ \Leftrightarrow \ \ r^2 = 2s^2\). Also ist r2 und damit auch r eine gerade Zahl, es gibt also eine natürliche Zahl n mit r = 2n. Dann aber ist \((2n)^2 = 4n^2 = 2s^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ 2n^2 = s^2\) und s2 und damit s ist auch gerade. Wenn aber r und s beide gerade sind, sind sie nicht teilerfremd, obwohl wir das ja gerade angenommen haben. Also kann es keine zwei natürlichen Zahlen geben, deren Verhältnis gleich \(\sqrt 2\) ist.

 

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