Wenn es bei einer Rechenoperation zu einer Zahl (oder sonstigen mathematischen Sache) eine andere Zahl (Sache) gibt, sodass bei der Rechenoperation das neutrale Element der Operation herauskommt, dann nennt man dieses Element das zum ersten Element inverse Element der Operation.
Beispiele:
- Bei der Addition ist das inverse Element zur Zahl x ihre Gegenzahl –x, denn x + (–x) = 0 (\(x \in \mathbb R\)).
- Bei der Multiplikation ist das inverse Element zu x sein Kehrwert \(\dfrac 1 x\), denn \(x \cdot \dfrac 1 x = 1 \ \ (x \in \mathbb R)\).
- Bei der Vektoraddition ist das inverse Element zum Vektor \(\vec x\) der antiparallele Vektor –\(\vec x\), denn es ist \(\vec x + (-1)\cdot \vec x = \vec 0\) für alle Vektoren \(\vec x\) im betrachteten Vektorraum.
- Die inverse Matrix einer quadratischen Matrix ist ihr inversers Element bezüglich der Matrizenmultiplikation.
Weiterhin gilt:
Wenn y das inverse Element zu x ist, auch x das inverse Element zu y.
Das Inverse Element des inversen Elements ist das Element selber:
–(–x) = x („Minus mal Minus gibt Plus.“) bzw.
\( \dfrac 1 {\frac 1 x} = x\)