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Lexikon Mathe

Integrierbarkeit

Eine Funktion f ist in einem Intervall I = [a; bintegrierbar, wenn die Grenzwerte von Ober- und Untersumme existieren und übereinstimmen, also das bestimmte Integral

\(\displaystyle \int_a^bf(x)\,\text dx\)

existiert. Dies ist dann der Fall, wenn f stetig oder monoton (oder beides!) ist.

Damit ist die Integrierbarkeit eine schwächere Forderung als die Differenzierbarkeit.

Achtung: Jede stetige Funktion ist integrierbar, die Umkehrung gilt dagegen nicht: es gibt auf einem Intervall integrierbare Funktionen, die dort nicht (überall) stetig sind! Beispielsweise ist die Signum-Funktion, die jeder Zahl ihr Vorzeichen zuordnet, an der Stelle x = 0 unstetig, aber trotzdem intergrierbar und es ist \(\int \text{sgn }x \, \text dx = |x|\) (also die Betragsfunktion).

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