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Lexikon Mathe

Integrale in der Physik

In der Oberstufen-Physik tauchen häufig Integrale auf (manchmal sogar bevor sie im Mathematikunterricht ausführlich besprochen wurden).

  • Das Arbeitsintegral \(W = \displaystyle \int_a^b F(x)\, \text dx\) ist die von einer Kraft \(F\!: x \mapsto F (x),\ x \in [a; b]\), in Wegrichtung längs des Weges von a nach b verrichtete Arbeit W.

    Beispiel:
    Eine elektrische Probeladung q wird der ortsfesten Ladung Q aus großer Entfernung (dem Unendlichen) bis auf den Abstand d angenähert. Dabei ist die erforderliche Kraft F(x) gleich dem Negativen der Coulombkraft \(F(x) = - F_\text{C} (x) = \dfrac{qQ}{4\pi \epsilon _0 r^2}\). Dann ist
    \(\displaystyle W = \int_{\infty }^d\! F(x)\, \text dx = \int_{\infty }^d\! -F_c(x)\, \text dx = \int_{\infty }^d\! -\frac{qQ}{4\pi \epsilon _0 r^2}\,\text dr = -\frac{qQ}{4\pi \epsilon _0} \int_{\infty }^d\! \frac{1}{r^2}\, \text dr = \lim_{a \to \infty}-\frac{qQ}{4\pi \epsilon _0} \int_a^d\! \frac{1}{r^2}\, \text dr = -\frac{qQ}{4\pi \epsilon _0}\cdot \lim_{a \to \infty} \left[-\frac{1}{r}\right]^d_a = \frac{qQ}{4\pi \epsilon _0 d}\)
     

  • Die mittlere Leistung \(\overline{P}\) eines sinusförmigen Wechselstroms ist das Mittelwertintegral über eine Periodendauer \(T = \dfrac {2\pi}{\omega}\). Mit \(P (t) = U (t) \cdot I (t) = U_0 \cdot \sin \omega t \cdot I_0 \cdot \sin \omega t\) gilt:
    \(\displaystyle \overline{P} = \frac{1}{T} \cdot \int_0^T\! U (t) \cdot I (t)\, \text dt = \frac{1}{T} \cdot \int_0^T\! (U_0 \cdot \sin \omega t \cdot I_0 \cdot \sin \omega t)\, \text dt = \frac{U_0 \cdot I_0}{T}\cdot\int_0^T\! \sin^2 \omega t\, \text dt = \frac{U_0 \cdot I_0}{T}\cdot \int_0^{2\pi }\! \sin^2 \varphi \cdot \frac{1}{\omega }\, \text d\varphi\)
    (Substitution\(\varphi = \omega t,\ t = \dfrac{1}{\omega }\cdot \varphi\) und \(\text dt = \dfrac{1}{\omega } \text d\varphi\))
    \(\displaystyle \Rightarrow \ \ \overline P=\frac{U_0 \cdot I_0}{\omega \cdot T}\cdot \int_0^{2\pi }\! \sin^2 \varphi \, \text d\varphi = \frac{U_0 \cdot I_0}{\omega \cdot T}\cdot \left[\frac{1}{2}\cdot (\varphi - \sin \varphi \cdot \cos \varphi )\right]^{2\pi }_0 = \frac{U_0 \cdot I_0}{\omega \cdot T}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\pi = \frac{U_0 \cdot I_0}{2}\)

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