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Lexikon Mathe

Höhen

Die Höhe in einem Dreieck ist der senkrechte Abstand einer Ecke von der gegenüberliegenden Seite bzw. das Lot der Ecke auf diese Seite. Der Lotfußpunkt heißt in diesem Fall Höhenfußpunkt.

Die drei Höhen hahb und hc schneiden sich in einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt H. Die Höhen in \(\triangle ABC\) sind gleichzeitig die Mittelsenkrechten (Mittellote) in \(\triangle A'B'C'\), das von den Parallelen zu den Seiten von \(\triangle ABC\) durch die Eckpunkte von \(\triangle ABC\) gebildet wird.

Die Höhe dient unter anderem zur Flächenberechnung: Die Fläche eines Dreiecks ist die Hälfte des Produkts aus einer Seite und der zugehörigen Höhe, \(\displaystyle A = \frac1 2 a\cdot h_a = \frac1 2 b\cdot h_b = \frac1 2 c\cdot h_c\).

Höhen - Abbildung 1

In spitzwinkligen Dreiecken liegt der Höhenschnittpunkt H innerhalb, in stumpfwinkligen Dreiecken außerhalb des Dreiecks. Im rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten gleichzeitig Höhen; der Höhenschnittpunkt fällt mit dem Scheitel des rechten Winkels zusammen. Im gleichseitigen Dreieck fallen Höhen, Mittelsenkrechte, Seiten- und Winkelhalbierende sowie deren jeweilige Schnittpunkte zusammen.

 

Auch bei Vierecken spielt die Höhe eine Rolle, insbesondere bei der Flächenberechnung von Trapez (Höhe mal Mittelwert der parallelen Seiten) und Parallelogramm (Seite mal Höhe).

 

Auch bei einfachen Körpern wie Prisma und Zylinder bzw. Pyramide und Kegel kann man eine Höhe definieren. Diese ist in diesem Fall die Richtung, die senkrecht auf der Grundfläche steht (also die Normale auf der Grundfläche).

Additional Exams

    Abbildungen und Symmetrien, Variante (1)

    Aufgabe 1

    Welche der Buchstaben A, C, H, M, L und Z sind achsensymmetrisch bzw. punktsymmetrisch?

    • Schwierigkeitsgrad:  1
    • Zeit:  7 Minuten
    • Punkte:  2

    Aufgabe 2

    Gib in der Tabelle an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind, indem du im entsprechenden Feld ein Kreuz setzt.

    Aussage  wahr   falsch
    a) Jedes Quadrat ist punktsymmetrisch.    
    b) Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Verschiebung und Drehung sind Kongruenzabbildungen.    
    c) Wenn eine Figur achsensymmetrisch ist, dann ist sie auch punktsymmetrisch.    
    d) Bei einer Achsenspiegelung bleibt der Umlaufsinn erhalten.    
    e) Die Verschiebung ist keine Kongruenzabbildung.    
    f) Wenn eine Figur punktsymmetrisch ist, dann ist sie auch achsensymmetrisch.    
    g) Bei einer Drehung bleibt der Umlaufsinn erhalten.    
    h) Bei einer Achsenspiegelung sind alle Punkte auf der Spiegelachse Fixpunkte.    
    i) Bei einer Punktspiegelung ist jeder Punkt ein Fixpunkt.    
    j) Wenn eine Figur punktsymmetrisch ist, dann ist sie auch drehsymmetrisch.    

     

    • Schwierigkeitsgrad:  1
    • Zeit:  7 Minuten
    • Punkte:  10

    Aufgabe 3

    Zeichne ein Vieleck, das nur zu allen gegebenen Achsen und keinen anderen Achsen symmetrisch ist.

    a)

    Höhen - Abbildung 1

     

    b)

    Höhen - Abbildung 2

    • Schwierigkeitsgrad:  2
    • Zeit:  10 Minuten
    • Punkte:  2

    Aufgabe 4

    Wende auf die Dreiecke a) bis c) die folgenden Abbildungen an.

    a) Verschiebung um \(\overline{DE}\)

    Höhen - Abbildung 3

    b) Punktspiegelung an D

    Höhen - Abbildung 4

    c) Drehung um D um 90°

    Höhen - Abbildung 5

    • Schwierigkeitsgrad:  2
    • Zeit:  10 Minuten
    • Punkte:  6

    Aufgabe 5

    Die Städte Ahausen, Bmünd und Cberg planen eine Mülldeponie, die von allen drei Städten gleich weit entfernt sein soll.

    Höhen - Abbildung 6

    Wo müsste die Deponie liegen?
    Konstruiere.

    • Schwierigkeitsgrad:  2
    • Zeit:  8 Minuten
    • Punkte:  2

    Aufgabe 6

    Durch eine Verschiebung im Koordinatensystem (KOS) wird der Punkt A (1|5,5) auf den Punkt A' (3,5|7,8) abgebildet.

    1. Auf welchen Punkt B' wird der Punkt B (44,5|17) durch die gleiche Verschiebung abgebildet?
    2. C' (19,2|26,1) ist der Bildpunkt des Punktes C bei derselben Verschiebung. Gib die Koordinaten von C an. (Zeichne evtl. eine Lageskizze.)
    • Schwierigkeitsgrad:  2
    • Zeit:  8 Minuten
    • Punkte:  2

    Abbildungen und Symmetrien (2)

    Aufgabe 1

    Wie viele Symmetrieachsen hat

    1. ein Rechteck,
    2. eine Raute,
    3. ein Drachenviereck,
    4. ein Quadrat?

    Zeichne die Symmetrieachsen in die richtigen Figuren ein.

    Höhen - Abbildung 7

    • Schwierigkeitsgrad:  1
    • Zeit:  8 Minuten
    • Punkte:  5

    Aufgabe 2

    Die Punkte A (1|3), B (6|6) und C (3|7) bilden ein Dreieck. Zeichne das Dreieck in jedes der drei KOS.

    a) Spiegele das Dreieck an der Geraden durch die Punkte S (2|2) und T (8|8).

    Höhen - Abbildung 8

    b) Drehe das Dreieck um 90° gegen den Uhrzeigersinn um den Punkt P (8|8).

    Höhen - Abbildung 8

    c) Wende eine Punktspiegelung an Q (6|4) auf das Dreieck an.

    Höhen - Abbildung 8

    • Schwierigkeitsgrad:  2
    • Zeit:  12 Minuten
    • Punkte:  9

    Aufgabe 3

    Der Weidenhof (A) und der Lohmühlenhof (B) liegen in der Nähe der Landstraße g. An der Landstraße soll eine Bushaltestelle eingerichtet werden, die von beiden Höfen gleich weit entfernt ist.

    Finde den Platz H für die Haltestelle mit einer geometrischen Konstruktion. Beschreibe, wie du H findest.

    Höhen - Abbildung 11

    • Schwierigkeitsgrad:  3
    • Zeit:  5 Minuten
    • Punkte:  2

    Aufgabe 4

    Wie viele Symmetrieebenen hat

    1. ein Quader,
    2. ein Würfel,
    3. ein Oktaeder?

    Zeichne in jede Figur eine Symmetrieebene ein. Schraffiere diese Ebenen.

    a)                                                       b)                                                      c)

    Höhen - Abbildung 12

     

    • Schwierigkeitsgrad:  2
    • Zeit:  8 Minuten
    • Punkte:  6

    Aufgabe 5

    Bei einer Parallelverschiebung geht der Punkt A (1|4) über in den Punkt A' (3|1).

    1. Auf welchen Punkt B' wird der Punkt B (5,2|4,7) abgebildet? Gib die Koordinaten von B' an.
    2. C' (3|5) ist der Bildpunkt von C. Gib die Koordinaten von C an.
    • Schwierigkeitsgrad:  2
    • Zeit:  5 Minuten
    • Punkte:  2

    Vielecke (1)

    Aufgabe 1

    Gib in der Tabelle an, ob die folgenden Aussagen zum Dreieck wahr oder falsch sind, indem du im entsprechenden Feld ein Kreuz setzt.

    Aussage  wahr   falsch
    a) Inkreis und Umkreis eines Dreiecks haben immer den gleichen Mittelpunkt.    
    b) Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Dreieckseiten.    
    c) Bei jedem rechtwinkligen Dreieck liegt der Mittelpunkt des Umkreises auf einer Kathete.    
    d) Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt der Mittelpunkt des Inkreises außerhalb des Dreiecks.    
    e) Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden im Dreieck ist der Mittelpunkt des Inkreises.    
    f) Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.    
    g) Bei einem gleichseitigen Dreieck stimmt der Mittelpunkt von Inkreis und Umkreis überein.    
    h) Die Winkelhalbierenden im Dreieck gehen durch den Schwerpunkt des Dreiecks.    
    i) Die Mittelsenkrechten im Dreieck gehen durch den Mittelpunkt des Umkreises.    

     

    • Schwierigkeitsgrad:  2
    • Zeit:  9 Minuten
    • Punkte:  9

    Aufgabe 2

    Zeichne das Dreieck mit den Seiten a = 6 cm, b = 4 cm und c = 5 cm auf ein separates Blatt. Konstruiere

    1. den Umkreis und
    2. den Inkreis.

    Zeichne das Dreieck und beide Kreise in ein gemeinsames Bild.

    • Schwierigkeitsgrad:  2
    • Zeit:  8 Minuten
    • Punkte:  5

    Aufgabe 3

    Berechne jeweils den Flächeninhalt. (Die Zeichnungen sind nicht maßstabsgetreu.)

    a)

    Höhen - Abbildung 13 

    b)

    Höhen - Abbildung 14

    c)

    Höhen - Abbildung 15

    d)

     Höhen - Abbildung 16

    • Schwierigkeitsgrad:  1
    • Zeit:  10 Minuten
    • Punkte:  8

    Aufgabe 4

    Ein großes Dreieck ist in zwei Teildreiecke mit den Flächeninhalten F und G aufgeteilt.

    Berechne den Flächeninhalt F. (Die Zeichnungen sind nicht maßstabsgetreu.)

    Höhen - Abbildung 17

    • Schwierigkeitsgrad:  3
    • Zeit:  10 Minuten
    • Punkte:  3

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