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Lexikon Mathe

Grenzwertsätze für Funktionen

Für den Grenzübergang von zwei Funktionen f und g an der Stelle \(x\rightarrow x_0\) gelten die folgenden Sätze, sofern beide Funktionen an der Stelle x0 definiert sind und jeweils einen Grenzwert haben:

  • \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} \left( f(x) + g(x) \right) = \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) + \lim_{x\rightarrow x_0} g(x) \)
  • \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} \left( f(x) - g(x) \right) = \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) - \lim_{x\rightarrow x_0} g(x) \)
  • \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} \left( f(x) \cdot g(x) \right) = \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) \cdot \lim_{x\rightarrow x_0} g(x) \)
  • \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) }{ \lim_{x\rightarrow x_0} g(x) } \ \ \ \left(\text{wenn } \lim_{x\rightarrow x_0} g(x) \ne 0 \right)\)

Entsprechend gilt für den Grenzübergang \(x\rightarrow \pm \infty\):

  • \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty} \left( f(x) \pm g(x) \right) = \lim_{x\rightarrow \pm\infty} f(x) \pm \lim_{x\rightarrow \pm\infty} g(x) \)
  • \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow\pm\infty} \left( f(x) \cdot g(x) \right) = \lim_{x\rightarrow \pm\infty} f(x) \cdot \lim_{x\rightarrow \pm\infty} g(x) \)
  • \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ \lim_{x\rightarrow \pm\infty} f(x) }{ \lim_{x\rightarrow \pm\infty} g(x) } \ \ \ \left(\text{wenn } \lim_{x\rightarrow \pm\infty} g(x) \ne 0 \right)\)
  • Wenn \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty} f(x) = \pm\infty\), dann ist \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty} \frac{1}{f(x)} = 0\)

Mit den Grenzwerten für f und g existieren somit auch die Grenzwerte für die Funktionen \(( f + g)\)\(( f - g)\)\(( f \cdot g)\) und \(\displaystyle \left( \frac{f}{g} \right)\), falls \(\lim\limits_{x \to x_0}g(x) \neq 0\) bzw.  \(\lim\limits_{x \to \pm \infty}g(x) \neq 0\).

Beispiele:

  • \(\displaystyle \lim\limits_{x \to 2}\frac{x^2-3x+2}{x^2+x-6} =\lim\limits_{x \to 2}\frac{(x-2)(x-1)}{(x-2)(x+3)} =\lim\limits_{x \to 2}\frac{x-1}{x+3} =\frac{\lim\limits_{x \to 2}(x-1)}{\lim\limits_{x \to 2}(x+3)} =\frac{1}{5}\)

  • \(\displaystyle \lim\limits_{x \to \infty }\frac{5x^2+2}{6x^2-3x} =\lim\limits_{x \to \infty }\frac{x^2 \left(5+\frac{2}{x^2}\right)}{x^2 \left(6-\frac{3}{x}\right)} =\lim\limits_{x \to \infty }\frac{5+\frac{2}{x^2}}{6-\frac{3}{x}} =\frac{\lim\limits_{x \to \infty }\left(5+\frac{2}{x^2}\right)}{\lim\limits_{x \to \infty }\left(6-\frac{3}{x}\right)} =\frac{5}{6}\)

 

Wenn für zwei Funktionen f und g in der gemeinsamen Definitionsmenge \(D = \mathbb R\) überlall \(|f(x)| \le |g(x)|\) ist und dazu \(\displaystyle \lim\limits_{x \to \pm \infty} g(x) = 0\), dann ist auch \(\displaystyle \lim\limits_{x \to \pm \infty} f(x) = 0\). Man kann also einen unbekannten Grenzwert ermitteln, indem man den bekannten Grenzwert einer anderen Funktion als obere Schranke benutzt.

Beispiel:
Sei \(\displaystyle f\!: x \mapsto f (x) = \frac{\sin(x)}{x}\) und \(\displaystyle g\!: x \mapsto g (x) = \frac{1}{x}\), mit \(D_f = D_g = [1; \infty [\).
Es gilt \(\displaystyle | f (x) | = \left| \frac{\sin(x)}{x} \right| = \left| \frac{1}{x} \right| \cdot |\sin(x)| \leq \left| \frac{1}{x} \right| \cdot 1 = | g (x)|\).
Damit folgt aus \(\displaystyle \lim\limits_{x \to \infty}g(x) = 0\) auch \(\displaystyle \lim\limits_{x \to \infty}f(x) = \lim\limits_{x \to \infty}\frac{\sin(x)}{x}= 0\).

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