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Lexikon Mathe

Gleichungen

Ein mathematischer Ausdruck, in dem zwei Terme T1 und T2 durch ein Gleichheitszeichen verknüpft sind, heißt Gleichung:

T1 = T2

(steht dort statt „=“ ein anderes Verknüpfungszeichen wie z. B. „<“ oder „\(\ne\)“, handelt es sich um eine Ungleichung).

T1 nennt man (naheliegenderweise) „linke Seite“ und T2 „rechte Seite“ der Gleichung. Treten in den Termen keine Variablen auf, so ist T1 = T2 eine Aussage. In diesem Fall lässt sich immer eindeutig feststellen, ob die Gleichung eine wahre oder eine falsche Aussage ist.

Beispiele:
3 + 9 = 12  ist eine wahre Aussage
3 + 9 = 13  ist eine falsche Aussage

Tritt in einer Gleichung wenigtens eine Variable auf, so liegt eine Aussageform vor. Man kann nur dann feststellen, ob eine wahre Aussage vorliegt, wenn man für die Variable eine Zahl einsetzt.

Beispiele:
3 + x = 12  ist eine Aussageform
Einsetzen von x = 9 ergibt die wahre Aussage   3 + 9 = 12
Einsetzen von 
x = 10 ergibt die falsche Aussage   3 + 9 = 13

Anmerkung: Manchmal unterscheidet man bei Gleichungen auch noch wie bei Funktionen zwischen Variablen und Parametern.

 

Man kann eine Gleichung durch Äquivalenzumformungen so umwandeln, dass man den x-Wert, bei dem sich eine wahre Aussage ergibt, sofort ablesen kann. Das nennt man dann „die Gleichung lösen“, jeder so gefundene x-Wert ist eine Lösung der Gleichung und die Menge aller Lösungen der Gleichung ist die Lösungsmenge L.

Wenn die Gleichung zwei Variablen enthält (z. B. x und y) sind die Lösungen Zahlenpaare von der Form (xL|yL), bei drei Variablen Tripel usw.

Wenn eine Gleichung Variablen enthält, muss man unebdingt eine Definitionsmenge D angeben. Diese enthält alle Werte, die bei Einsetzen in die Gleichung einen sinnvoll definierten (wohldefinierten) Ausdruck ergeben. 

Beispiele:
\(\dfrac 2 x = -1\)
,  Einsetzen von x = 0 führt auf den nicht definierten Ausdruck  \(\dfrac 2 0 = -1\)  (die Division durch 0 ist nicht definiert), deswegen muss man die Zahl 0 aus der Definitionsmenge ausschließen.

Anmerkung: Manchmal wird noch zwischen der Grundmenge G und der Definitionsmenge D unterschieden. Die Grundmenge enthält alles, was man überhaupt einsetzen kann. Im obigen Beispiel \(\dfrac 2 x = -1\) enthielte die Grundmenge in der 8. Klasse alle rationalen Zahlen (\(G = \mathbb Q\)), aber beispielsweise keine Fische oder Gedichte, in der 10. Klasse wäre \(G = \mathbb R\) (reelle Zahlen).

 

Je nachdem, was für ein Term in einer Gleichung die interessierende Variable enthält, unterscheidet man

Natürlich können Gleichungen auch beliebige Kombinationen der genannten Terme bzw. Funktionen und noch viele andere mehr enthalten …

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