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Lexikon Mathe

Gebrochenrationale Funktionen

Eine gebrochenrationale Funktion f hat als Funktionsterm einen Quotienten aus zwei Polynomen u(x) und v(x): \(\displaystyle f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\). Dabei muss man den Definitionsbereich Df so wählen, dass der Nenner nicht null werden kann. Man muss also alle Nullstellen des Nennerpolynoms, die man auch Definitionslücken oder Polstellen nennt, aus Df ausschließen.

Beispiele

  • \(\displaystyle f \!: \ x \mapsto \frac{x - 1}{x + 1} ; \ D_f = \mathbb{R}\backslash \{-1\}\)

  • \(\displaystyle f \!: \ x \mapsto \frac{x - 3}{(x - 2)(x - 1)}; \ D_f = \mathbb{R}\backslash\{1;2\}\)

  • \(\displaystyle f \!: \ x \mapsto \frac{4 x^2 + 6x - 3}{2} = 2 x^2 + 3x - 1,5; \ D_f = \mathbb{R}\)

Wenn, wie beim dritten Beispiel, das Nennerpolynom eine konstante Zahl ist, erhält man eine ganzrationale Funktion mit \(D_f = \mathbb{R}\). Der Oberbegriff für beide Arten ist rationale Funktion.

Eigenschaften

  • Die Nullstellen einer gebrochenrationen Funktion sind die Nullstellen des Zählerpolynoms, werden also genauso bestimmt wie bei einer ganzrationalen Funktion.
  • An einer Polstelle xP hat der Graph von f die vertikale Asymptote x = xP. Wenn der Grad des Zählerpolynoms kleiner oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms ist, so existiert eine horizontale Asymptote. Wenn der  Grad des Zählerpolynoms von genau um 1 größer als der Grad des Nennerpolynoms ist, hat die gebrochenrationale Funktion eine schräge Asymptote, da sie sich für \(x \rightarrow \pm \infty\) wie eine lineare Funktion (ein Polynom ersten Grades) verhält, deren Graph eine Asymptote ist.
  • Weitere Eigenschaften werden bei der Kurvendiskussion mithilfe der Differenzial- und Integralrechnung untersucht.
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