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Lexikon Mathe

Flächeninhalt

Der Flächeninhalt in ein Maß für die Größe eines zweidimensionalen Objekts bzw. einer Figur, etwa eines Quadrats, eines Fußballfelds oder der Bundesrepublik Deutschland. Man sagt oft auch einfach nur „Fläche“, das ist aber missverständlich, weil damit sowohl das Objekt selbst („diese Fläche malen wir grün an“) als auch seine Größe („die Fläche des Ackers beträgt einen halben Hektar.“) Bei Flächen im dreidimensionalen Raum spricht man meist von der „Oberfläche“, noch präziser vom „Oberflächeninhalt“ eines Körpers. Die Basiseinheit des Flächeninhalts ist der Quadratmeter (m2), im Prinzip kann man aber auch jede andere Längeneinheit quadrieren, um eine Flächeneinheit zu erhalten: 100 m mal 100 m sind ein Hektar, (1 cm)2 sind ein Quadratzentimeter.

Bei vielen Figuren gibt es einfache Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts, so ist die Fläche eines Rechtecks das Produkt von zwei benachbarten Seitenlängen. Wenn eine Figur von einer beliebig geformten Kurve begrenzt wird, die der Graph einer Funktion ist, kann man ihren Flächeninhalt mithilfe der Integralrechnung ausrechnen. Der Flächeninhalt einer zusammengesetzten Figur ist die Summe der Einzelflächen.

 

Die Analytische Geometrie bietet weitere Möglichkeiten zur Bestimmung von Flächeninhalten. So ist die Fläche eines Parallelogramms der Betrag des Kreuzprodukts (Vektorprodukt) der beiden Vektoren, die es aufspannen,

\(A_\text{Parallelogramm} = \left| \vec a \times \vec b \right| \equiv \left| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \right|\), und das Volumen eines Parallelepipeds ist der Betrag des Spatprodukts der drei es aufspannenden Vektoren: \(V_\text{Parallelepiped} = \left| \left( \vec a \times \vec b \right) \cdot \vec c \right|\).

 

 

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