Exponentielles Wachstum

Bei einem exponentiellen Wachstum wird eine Größe X in gleichen Zeitabschnitten um den gleichen Faktor größer oder kleiner, also z. B. eine tägliche Verdopplung oder eine halbjährliche Drittelung. Nummeriert man die Zeitschritte mit 1, …, n, …, dann ist \(\displaystyle \frac{X_{n+1}}{X_n} = q = \text{konstant}\). Die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Werten ist

\(\displaystyle \Delta X = X_{n+1} - X_n = (q-1)X_n \sim X_n\)

Die absolute Zunahme ist also proportional zum aktuell vorhandenen „Bestand“.

Vergleicht man X_n mit dem Ausgangswert X₀, dann ist \(X_n = X_0 \cdot q^n\) und man sieht, warum es „exponentielles Wachstum“ heißt: die Zahl der Zeitschritte steht im Exponenten einer Potenz. Allgemein, d. h. nicht nur für diskrete, gleich große Zeitschritte, wird ein exponentielles Wachstum durch eine Exponentialfunktion y(x) = a^x beschrieben.

Beispiele:

• Das „alltäglichste“ Beispiel für exponentielles Wachstum ist der Verzinsung mit Zinseszins: Aus einem Startkapital K₀ wird nach n Jahren ein Kapital K_n = K₀ · qⁿ.
• Der Zerfall eines radioaktiven Elements vollzieht sich nach dem Gesetz N(t) = N₀ · e^–kt, dabei ist N₀ die Ausgangsmenge an radioaktiven Atomen, N(t) die Zahl der nach der Zeit t noch nicht zerfallenen Atome, e die Euler’sche Zahl und k die sog. Zerfallskonstante.
• Eine Bakterienpopulation oder eine Meerschweinkolonie, deren Individuenzahl sich bei ungebremstem Wachstum in festen Zeitabständen verdoppelt, zeigt exponentielles Wachstum – genau wie die Menschheit während des letzten Jahrtausends.