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Lexikon Mathe

Exponentialgleichungen und Logarithmusgleichungen

Unter einer Exponentialgleichung versteht man einer Gleichung, in der eine Variable im Exponenten einer Potenz, d. h. als Argument einer Exponentialfunktion auftaucht, eine Logarithmusgleichung ist dementsprechend eine Gleichung mit einer Variablen in einem Logarithmusterm bzw. als Argument einer Logarithmusfunktion.

Anmerkung: Natürlich kann man beliebig komplizierte Gleichung mit Exponential-, Logarithmus- und anderen noch seltsameren Termen aufstellen, meistens hat man es in der Schule aber „nur“ mit einer Sorte komplizierte Funktion pro Gleichung zu tun, also sozusagen mit „reinen“ Exponential- und Logarithmusgleichungen.

Da die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist (und umgekehrt!), löst man Exponential- und Logarithmusgleichungen auf sehr ähnliche Weise:

  • Eine Exponentialgleichung löst man durch Logarithmieren beider Seiten. Dies ist möglich, weil die Logarithmusfunktion wie gesagt umkehrbar und das Logarithmieren daher eine Äquivalenzumformung ist. Man nimmt dabei natürlich jeweils den Logarithmus zu der Basis des Exponentialterms.

    Beispiele:

    \(\begin{matrix} \quad \quad \quad \quad 13^x &=& 169 \\ \Leftrightarrow \log_{13}(13^x) &=& \log_{13}169 \\ \Leftrightarrow \quad \quad \quad \quad x &=& 2 \end{matrix}\)

    \(\begin{matrix} \quad \quad \quad \text e^{2x+1} &=& 4 \quad\quad\quad\quad \\ \Leftrightarrow \ln (\text e^{2x+1}) &=& \ln 4 \quad\quad\quad\quad \\ \Leftrightarrow \quad 2x +1 &=& \ln 4 \quad\quad\quad\quad \\ \Leftrightarrow \quad\quad\quad \ x &=& \dfrac{\ln 4 -1} 2 \approx 0,193\end{matrix}\)

  • Eine Logarithmusgleichung löst man, indem man beide Seiten „hoch nimmt“, also eine Potenz bildet mit der Basis des Logarithmus und der jeweiligen Seite der Gleichung als Exponent. Dies ist ebenfalls eine Äquivalenzumformung.

    Beispiele:

    \(\begin{matrix} \quad \quad \log_2(x-1) &=& 1024 \\ \Leftrightarrow \quad 2^{\log_2(x-1)} &=& 2^{1024} \\ \Leftrightarrow \ \ \quad\quad x - 1 &=& 10 \\ \Leftrightarrow \ \quad \quad\quad\quad x &=& 11 \end{matrix}\)

    \(\begin{matrix} \quad \quad \ln \dfrac {x+1}x &=& 2 \quad \quad\quad\quad \\ \Leftrightarrow \ \quad \text e^{\ln \frac {x+1}x} &=& \text e^2 \quad \quad\quad\quad \\ \Leftrightarrow \quad \dfrac {x+1}x &=& \text e^2 \quad \quad\quad\quad \\ \Leftrightarrow \quad\quad\quad x &=& \dfrac 1 {\text e^2 -1} \approx 0,157 \end{matrix}\)

 

Achtung: Bei Logarithmusgleichungen muss man immer zuerst die Definitionsmenge klären – das Argument eines Logarithmus muss immer positiv sein! Im ersten Beispiel ist \(D = \{x \in \mathbb R | x > 1 \}\), im zweiten hat man \(D = \{x \in \mathbb R | x < -1\} \ \cup \ \mathbb R^+\) (hier muss natürlich auch noch ausgeschlossen werden, dass der Nenner gleich null wird).
Und: Man muss am Ende immer prüfen, ob die gefundene Lösung in der Definitionsmenge der Gleichung liegt! In den beiden Beispielen ist das zum Glück der Fall.

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