Bei einem Zufallsexperiment ist ein Ereignis eine Teilmenge der Ergebnismenge \(\Omega\), also eine Zusammenfassung von einem oder mehreren Ergebnissen (Elementarereignissen) zu einem „kombinierten“ Ausfall des Experiments. Die Verknüpfung von Ereignissen lässt sich daher besonders gut mithilfe der Regeln der Mengenlehre beschreiben.
Beispiel:
Beim Roulette gibt es 37 verschiedene Ergebnisse, nämlich die natürlichen Zahlen von 0 bis 37, also ist die Ergebnismenge \(\Omega = (0, 1, 2, ... 35, 36)\). Man kann aber nicht auf eines dieser jeweils mit der Wahrscheinlichkeit \(\displaystyle \frac{1}{37} \approx 2,7\,\%\) auftretenden Ergebnisse setzen, sondern z. B. auch auf „gerade Zahl“, „größer als 24“ oder „1, 2, 4 oder 5“. Diese Ereignisse entsprechen den folgenden drei Teilmengen von \(\Omega\): {2; 4; 6; …; 36}, {25; 26; 27; …; 36} und {1; 2; 4; 5}.
Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Laplace-Experiment ein bestimmtes Ereignis A herauskommt, ist das Verhältnis aus der Zahl der Elemente von A und der Zahl der Elemente der Ergebnismenge: \(P(A)=\displaystyle \frac{|A|}{|\Omega|}\). Im Roulettebeispiel hat z. B. das Ereignisse „größer als 24“ die Wahrscheinlichkeit \(P(„> 24“)=\displaystyle \frac{12}{37} \approx 32,4\,\%\).
Die Menge aller Ereignisse eines Zufallsexperiments wird manchmal der Ereignisraum \(\mathcal{P}(\Omega)\) genannt. Sie ist die Potenzmenge von \(\Omega\) und hat 2n Elemente.
Fasst man die leere Menge als Ereignis auf, heißt sie „unmögliches Ereignis“, \(\Omega\) selbst ist als Ereignis das „sichere Ereignis“, und die Restmenge (das Komplement) \(M \setminus T = \bar{T}\) ist das Gegenereignis von T.
Beispiele:
- Werfen einer (unendlich dünnen) Münze: \(\Omega\) = {Kopf; Zahl}, \(|\Omega | = 2\) und „Kopf“ und „Zahl“ sind jeweils das Gegenereignis voneinander.
\(P (\Omega ) = {{ } {K}, {Z}, \Omega };\ |P (\Omega )| = 2^2 =\) 4
- Werfen eines fairen sechsseitigen Würfels: \(\Omega =\)\(\big\{\)\(1, 2, 3, 4, 5, 6\)\(\big\}\); \(|\Omega | = 6\)
\(\begin{matrix} A =& \text {„Sechs“} &A =& {6} \\ \overline{A} =& \text {„keine 6“} &\overline{A} =& {1, 2, 3, 4, 5} \\ B =& \text {„gerade Augenzahl“} &B =& {2, 4, 6} \\ C =& \text {„Augenzahl 4“} &C =& {4} \end{matrix}\)
\(|P (\Omega )| = 2^6 = 64\), deshalb wird \(P (\Omega )\) hier nicht ausgeschrieben.