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Lexikon Mathe

Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren ist eine der Standardmethoden zum Lösen von linearen Gleichungssystemen (LGS). Man löst dabei eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzt dann den sich ergebenden Term in die anderen Gleichungen ein, in denen diese Variable dann nicht mehr auftaucht. Wenn man das bei n Gleichungen (n – 1)-mal macht, erhält man eine Gleichung mit nur noch einer Variablen, die unmittelbar gelöst werden kann. Rückeinsetzen ergibt dann Schritt für Schritt die Lösungen für die übrigen Variablen.

Beispiel:

\(\begin{matrix} &(\text I)& x_1 &+& x_2 &+& x_3 &=& 1 \\ &(\text{II})& 2 x_1 &-& x_2 &-& 3 x_3 &=& - 2 \\ &(\text{III})& 3 x_1 &+& 2 x_2 &-& 2 x_3 &=& - 5 \end{matrix}\)

(I) nach x2 auflösen: x2 = 1 – x2 – x3, in (II) und (III) einsetzen:

\(\begin{matrix} &(\text{I})& x_1 &+& x_2 &+& x_3 &=& 1 \\ &(\text{II}^*\!) & 3 x_1 && &-& 2 x_3 &=& - 1 \\ &(\text{III}^*\!) & x_1 & & &-&4x_3 &=& - 7 \end{matrix}\)

(III*) nach x1 auflösen: x1 = 4x3 – 7, in (II) einsetzen:

\(\begin{matrix} &(\text{I})& x_1 &+& x_2 &+& x_3 &=& 1 \\ &(\text{II}^{**}\!) & && && 10 x_3 &=& 20 \\ &(\text{III}^{*}\!)& x_1 & & &-&4x_3 &=& - 7 \end{matrix}\)

Aus (II**) liest man direkt x3 = 2 ab, durch Einsetzen in (III*) erhält man x1 = 1 und aus (I) dann x2 = –2.

\(L= \{(1|-\!2|2)\}\)

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