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Lexikon Mathe

Einseitiger Hypothesentest

Ein Hypothesentest bzw. Signifikanztest heißt einseitig, wenn die Veränderung der untersuchten Wahrscheinlichkeit lediglich in einer Richtung interessiert („ist p größer geworden oder nicht?“).

Allgemeine Vorgehensweise beim Signifikanztest:

 - Abbildung 1

Beispiel   Ein Würfel zeigt beim Werfen auffällig oft eine Sechs. Es soll geprüft werden, ob er trotzdem ein Laplace-Würfel ist.

1. Nullhypothese H0: Die Wahrscheinlichkeit für eine Sechs ist nicht erhöht, sondern höchstens so groß wie bei einem Laplace-Würfel \(p = p_0 = \frac{1}{6}\), die Alternativhypothese ist dann entsprechend H1: \(p > \frac{1}{6}\) (den Fall p < p0 können wir ignorieren, da wir ja uns nur für zu große p-Werte interessieren.)

2. Testparameter: Es wird 20-mal gewürfelt. X sei die Anzahl der gewürfelten Sechsen. Die Wahrscheinlichkeit \(\alpha\) für den Fehler 1. Art soll unter einer vorgegebenen Schranke (z. B. \(\alpha \le 5\ \%\)), dem sogenannten Signifikanzniveau, liegen.

\(X \le c:\) H0 wird angenommen.
\(X > c:\) H0 wird abgelehnt.

3. Entscheidungsregel: Wie wahrscheinlich ist es, dass die Hypothese H0 abgelehnt wird, obwohl sie zutrifft? Dies können wie unter der Annahme p = p0 mit der kumulierten Binomialverteilung berechnen.

\(\alpha = P(H_0 \ \text{abgelehnt} | {H}_0) = P(X > c) = 1-P(X \le c) = 1-\sum_{i=0}^c B_{20;\frac{1}{6}}(i)\)

Aus CAS, Tabellenkalkulation, Taschenrechner oder Tabelle erhält man für c = 5 den Wert \(\alpha = 10,1\ \%\), für c = 6 ergibt sich \(\alpha = 3,7\ \%\). Also lautet die Entscheidungsregel „Annahme von H0 bei \(X \le 6\), Ablehnung bei X > 6“.

4. Durchführung und Entscheidung: Bei 20 Würfen fällt 7-mal die Sechs. Darum wird H0 abgelehnt (verworfen), der Würfel ist also nicht fair, sondern liefert zu viele Sechsen.

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