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Lexikon Mathe

Ebenenspiegelung

Eine Ebenenspiegelung ist das dreidimensionale Gegenstück zur Achsen- oder Geradenspiegelung. Zwei einander entsprechende Punkte P (Urbild) und \(P'\) (Abbild, „Spiegelbild“) haben den gleichen senkrechten Abstand von der Spiegelebene. Ebenenspiegelungen sind Bewegungen, d. h. bei der Spiegelung eines Körpers an einer Ebene ändern sich Abstände und Winkel nicht.

In der Analytischen Geometrie beschreibt man eine Ebenenspiegelung folgendermaßen: Wenn die Normale durch P auf der Ebene E schneidet E im Lotfußpunkt F. Für den Spiegelpunkt \(P'\) gilt dann

\(\displaystyle \overrightarrow{p'} = \overrightarrow{p} + 2 \overrightarrow{PF}\)   bzw.   \(\displaystyle \overrightarrow{p'} = \overrightarrow{p} - 2 d_p \cdot \overrightarrow{n_0}\)

 - Abbildung 1

Eine Gerade spiegelt man an einer Ebene, indem man zwei Punkte der Geraden spiegelt, das Spiegelbild der Geraden ist die Gerade durch die beiden Bildpunkte.

 

Das klassische Beispiel für eine Ebenenspiegelung ist der Blick in den Badezimmerspiegel. Das (physikalisch gesprochen: virtuelle) Spiegelbild steht so weit hinter der Spiegelebene wie ich selbst vor ihr. Man sieht an diesem Beispiel auch, dass eine Ebenenspiegelung „vorne“ und „hinten“ vertauscht, also die räumliche Orientierung ändert. Anders als bei einer Punktspiegelung kann man eine Ebenenspiegelung nicht durch eine Kombination von Drehungen und Verschiebungen ersetzen. Anders ausgedrückt: Bild und Spiegelbild lassen sich nicht auf natürlichem Weg zur Deckung bringen (man denke an einen linken und einen rechten Handschuh). Aus diesem Grund nennt man Ebenenspiegelungen manchmal auch „uneigentliche Bewegungen“, wohingegen Drehungen, Verschiebungen und Punktspiegelungen eigentliche Bewegungen sind.

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