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Lexikon Mathe

Division

Die Division bzw. das Teilen ist die Umkehroperation zur Multiplikation (Malnehmen):

\(\displaystyle a \cdot b = c \ \ \Rightarrow \ \ a = b : c\)  bzw.  \(\displaystyle 5 \cdot 6 = 30 \ \ \Rightarrow \ \ 5 = 30 : 6\)

Ein Rechenausdruck, in dem eine Zahl durch eine andere Zahl (oder ein Term durch einen anderen) dividiert wird, ist ein Quotient (manchmal auch „Verhältnis“). Die Zahl links vom Doppelpunkt heißt Dividend (lateinisch: „das zu Teilende“), die rechts davon Divisor (lateiner: „das, was teilt“ bzw. der Teiler). Das Ergebnis einer Division heißt Wert des Quotienten oder auch einfach nur Quotient.

Division - Abbildung 1

Man kann komplizierte Divisionen auch ohne Taschenrechner oder Computer berechnen, nämlich mit dem schriftlichen Rechenverfahren.

Außerdem kann man jeden Quotienten auch als einen Bruch schreiben (wer Bruchrechnung kann, braucht sich nicht mehr viel mit Doppelpunkten herumzuschlagen!).

 

Besonderheiten der Division

  • Null dividiert durch irgendeine Zahl ergibt immer Null.
    \(0:6=0\)
  • Durch null kann und darf man nicht dividieren! Ein Bruchterm, dessen Nenner null wird, ist nicht definiert.
  • Bei der Division gilt kein Kommutativgesetz, Dividend und Divisor dürfen nicht vertauscht werden.
    \(16:8\neq8:16\)
  • Auch das Assoziativgesetz gilt hier nicht, eine Änderung Klammersetzung ist ebenfalls nicht erlaubt.
    \((120:60):2\ne120:(60:2)\)
  • Während Addition und Multiplikation von natürlichen und ganzen Zahlen immer natürliche bzw. ganze Zahlen ergeben, ergibt die Division zweier natürlicher (ganzer) Zahlen nur dann wieder eine natürliche Zahl, wenn der Divisor ein Teiler des Dividenden bzw. der Dividend ein Vielfaches des Divisors ist. Wenn dies nicht der Fall ist, geht die Division nicht „auf“ und es bleibt ein Divisionsrest bzw. Rest:
    27 : 5 = 5 Rest 2, denn 5 · 5 + 2 = 27.
    Der Divisionsrest ist immer kleiner als der Divisor, wenn er gleich null ist, geht die Division auf.
    In der Menge der Bruchzahlen bzw. der rationalen Zahlen hat dagegen jede Division (außer durch 0) auch ein Ergebnis.

Man kann auch Funktionen oder Polynome durcheinander dividieren, dies ist Thema in der Analysis.

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