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Lexikon Mathe

Diskussion einer gebrochenrationalen Funktion - Anwendungsbeispiel

Bei der „Diskussion“ einer Funktion werden elementare Eigenschaften vor allem des Funktionsgraphen aus der Untersuchung der Terme der Funktion und der Ableitungen ermittelt.

Beispiel \(f (x) = \frac{2x^2-4x+2}{x^2}=2+\frac{-4x+2}{x^2}=2-\frac{4}{x}+\frac{2}{x^2}\)

1. Definitionsbereich \(D_f\)

\(f (x) = \frac{2x^2-4x+2}{x^2} = \frac{u(x)}{v(x)}\) . \(f\) ist an der Nullstelle \(x = 0\) des Nenners \(v (x)\) nicht definiert: Also gilt: \(D_f =\) \(\mathbb{R}\backslash\{0\}\).

2. Symmetrieeigenschaften des Graphen \(G_f\)

Es liegt keine ausgezeichnete Symmetrie vor.

3. Nullstellen von \(f\)

Für \(x \in D_f\) gilt: \(f (x) = 0 \Leftrightarrow u (x) = 0 \Leftrightarrow 2 x^2 - 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow 2 \cdot (x - 1)^2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

\(f\) hat also bei \(x = 1\) eine doppelte Nullstelle (d. h. ohne Vorzeichenwechsel).

4. Schnittpunkt von \(G_f\) mit der \(y\)-Achse

Da \(f\) für \(x = 0\) nicht definiert ist, existiert kein Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse.

5. Verhalten von \(f\) am Rand von \(D_f\)

Es gilt \(\lim_{x \to \pm \infty}f (x) = \lim_{x \to \pm \infty}\left( 2 - \frac{4}{x} + \frac{2}{x^2} \right) = 2\).

Die Gerade \(g : y = 2\) ist horizontale Asymptote von \(G_f\) .

\(\lim_{\underset{x>0}{x \to 0}}f(x) =\lim_{\underset{x<0}{x \to 0}}f(x) = +\infty\) . Die \(y\)-Achse ist vertikale Asymptote.

Die Definitionslücke \(x = 0\) ist Unendlichkeitsstelle \(2.\) Ordnung, also ohne Vorzeichenwechsel.

6. Vorzeichenbereiche von \(f\)
Vorzeichentabelle für \(f\)

Diskussion einer gebrochenrationalen Funktion - Anwendungsbeispiel - Abbildung 1

\(f\) ist nicht negativ,der Graph \(G_f\) verläuftalso im \(I.\) und \(II.\) Quadranten.

Diskussion einer gebrochenrationalen Funktion - Anwendungsbeispiel - Abbildung 2

7. Berechnung von \(f'\) und \(f''\):

\(f'(x)=\frac{(4x-4)\cdot x^2-(2x^2-4x+2)\cdot 2x}{x^4}=\frac{4x-4}{x^3}\) ;

\(f'' (x) = \frac{4x^3-(4x-4)\cdot 3x^2}{x^6}=\frac{-8x+12}{x^4} , D_{f'} = D_{f''} =\) \(\mathbb{R}\backslash\{0\}\).

8. Extrema von \(f\) bzw. Extrempunkte von \(G_f\)
1. Nullstellen von \(f': f' (x) = 0 \Leftrightarrow 4x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
2. Entscheidung, ob Extremum vorliegt: \(f'' (1) = 4 > 0\), somit hat \(f\) bei \(x = 1\) ein lokales Minimum. Mit \(f (1) = 0\) erhält man den Tiefpunkt \(T (1|0)\).

9. Monotonie von \(f\) bzw. Steigen und Fallen von \(G_f\)
Eine Vorzeichenbetrachtung von \(f'\) ergibt:

\(x < 0 \Longrightarrow f' (x) > 0 \Longrightarrow G_f\) steigt streng monoton,
\(0 < x < 1 \Longrightarrow f' (x) < 0 \Longrightarrow G_f\) fällt streng monoton,
\(1 < x \Longrightarrow f' (x) > 0 \Longrightarrow G_f\) steigt streng monoton.

10. Wendestellen von \(f\) bzw. Wendepunkte von \(G_f\)
1. Nullstelle von \(f'': f'' (x) = 0 \Leftrightarrow - 8x + 12 = 0 \Leftrightarrow x = 1,5\)
2. Entscheidung, ob Wendepunkt vorliegt: Da \(f''\) bei \(x = 1,5\) das Vorzeichen wechselt, liegt bei \(x = 1,5\) ein Wendepunkt vor.

Mit \(f (1,5) = \frac{2}{9} \approx 0,22\): Wendepunkt \(W \left( 1,5| \frac{2}{9} \right)\) .

11. Krümmungsverhalten von \(G_f\)

Vorzeichenuntersuchung von \(f'' (x) = \frac{-8x+12}{x^4}\) ergibt:

\(x < 0 \Longrightarrow f'' (x) > 0 \Longrightarrow G_f\) ist linksgekrümmt,
\(0 < x < 1,5 \Longrightarrow f'' (x) > 0 \Longrightarrow G_f\) ist linksgekrümmt,
\(1,5 < x \Longrightarrow f'' (x) < 0 \Longrightarrow G_f\) ist rechtsgekrümmt.

12. Wertemenge \(W_f\)
Aufgrund des lokalen Minimums, des Verhaltens von \(f\) für \(x \rightarrow \pm \infty\) und \(x \rightarrow 0\) sowie der Stetigkeit von \(f\) gilt: \(W_f = \mathbb{R}^+_0 = [0; \infty [.\)

13. Zeichnung des Graphen

Diskussion einer gebrochenrationalen Funktion - Anwendungsbeispiel - Abbildung 3

 
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