Die Differenzialrechnung ist, einfach ausgedrückt, der Teil der Analysis, der sich mit Ableitungen von Funktionen beschäftigt. Die Bezeichnung kommt daher, dass die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten einer Funktion bei einem gegebenen x-Wert definiert ist.
Die Differenzialrechnung ist ein mächtiges Instrument bei der Untersuchung von gegebenen Funktionen oder bei der mathematischen Modellierung von realen Sachverhalten durch Funktionen. Typische Aufgaben sind
- die Untersuchung von Funktionsgraphen im Achsenkreuz, die sog. Kurvendiskussion,
- das Aufstellen einer Polynomfunktion zu vorgegebenen Bedingungen,
- die näherungsweise Berechnung von Nullstellen mit dem das Newton-Verfahren,
- das Lösen von Optimierungs- bzw. Extremwertaufgaben.
Die Differenzialrechnung ist eng verwandt mit der Integralrechnung, da man das Integrieren als eine Art Umkehrung des Ableitens auffassen kann. Beide Gebiete werden auch unter dem Namen Infinitesimalrechnung zusammengefasst. Dies kommt daher, dass beim Grenzübergang vom Differenzen- zum Differenzialquotienten (und ähnlich von Unter- und Obersumme zum bestimmten Integral) die „unendlich kleinen“ oder eben infinitesimalen Größen dx und dy bzw. df(x) auftauchen.