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Lexikon Mathe

Dezimalzahlen

Umgangssprachlich sind Dezimalzahlen „Zahlen mit was hinter dem Komma“, also Zahlen, die auf der Zahlengerade irgendwo zwischen zwei ganzen Zahlen liegen, wie z. B. „–1,5“ oder „3,141.592.653.589.793…“. Mathematisch handelt es sich dabei um rationale bzw. reelle Zahlen, die keine ganzen Zahlen sind. Man kann aber auch jede ganze Zahl als „Kommazahl“ schreiben, nämlich einfach als „2,0“, „137,0“, „–1000,0“ usw. Insofern wäre jede Zahl, die im 10er-Stellenwertsystem notiert wird, eine Dezimalzahl.

Deswegen vermeiden einige Mathematikbücher den Ausdruck Dezimalzahlen und sprechen stattdessen von Dezimalbrüchen, allerdings fallen darunter nur diejenigen Dezimalzahlen, die nicht periodisch sind.

In diesem Lexikon werden deshalb alle Zahlen als Dezimalzahlen bezeichnet, in deren Zifferndarstellung mindestens eine Stelle hinter dem Komma keine 0 ist. Von diesen gibt es drei Arten:

  • Abbrechende Dezimalzahlen haben nur endlich viele Nachkommastellen, die nicht null sind, bzw. ab irgendeiner nur noch Nullen als hinter dem Komma. Sie entsprechen den Dezimalbrüchen, also den Brüchen mit einer Zehnerpotenz im Nenner. Alle Bruchzahlen, deren Nenner nur die Primfaktoren 2 und 5 enthalten, lassen sich zu einem solchen Dezimalbruch mit abbrechender Dezimaldarstellung erweitern.
    Beispiel:
    \(\displaystyle \frac {7}{20} = \frac {7}{2^2\cdot 5} = \frac {35}{100} = 0,35\)
     

  • Bei periodischen Dezimalzahlen wiederholt sich ab einer bestimmten Stelle hinter dem Komma eine Ziffer oder Ziffernfolge immer weiter bis ins Unendliche. Diese wird dann mit einem Überstrich notiert:
    \(\displaystyle \frac {7}{6} = \frac {7}{2\cdot 3} = 1,1\bar6\)
    Abbrechende und periodische Dezimalzahlen sind rationale Zahlen.
     

  • Irrationale Zahlen entsprechen Dezimalzahlen, die weder abbrechen noch jemals eine Periode zeigen.Solche nicht abbrechenden und nicht periodischen Dezimalzahlen lassen sich immer nur angenähert aufschreiben, exakt ist nur die Angabe eines Symbols wie „e“, „\(\pi\)“ oder „\(\sqrt 2\)“. Mathematisch genau müsste man solch eine Dezimalzahl als Grenzwert einer Folge von abbrechenden oder periodischen Dezimalzahlen definieren.

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