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Lexikon Mathe

Definitionsmenge (Definitionsbereich)

Die Definitionsmenge bzw. der Definitionsbereich einer Funktion oder Gleichung enthält alle Zahlen, die – setzt man sie für eine Variable im Funktionsterm ein –, zu einem mathematisch definierten Ausdruck führen. Dies lässt sich leichter verstehen, wenn man sagt, welche Zahlen nicht in der Definitionsmenge enthalten sein dürfen: Alles was dazu führt, dass durch null geteilt würde oder die Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen würde.

Man darf, aus welchen Gründen auch immer, die Definitionsmenge einer Funktion auch noch weiter als „mathematisch notwendig“ einschränken, etwa wenn man sich nur für rationale oder natürliche x-Werte interessiert. Die Definitionsmenge mit den wenigsten Einschränkungen, also die, bei der nur die mathematisch unsinnigen Fälle ausgeschlossen werden, wird daher in manchen Bundesländern als „maximale Defintionsmenge“ bezeichnet. Erweitert man die Definitionsmenge um mathematisch zulässige x-Werte (z. B. Fortsetzung der Winkelfunktionen über \(\pm2\pi\) hinaus, nennt man dies eine Fortsetzung der betrachteten Funktion.

Beispiele:

  • Die Funktion y = 2x + 5 hat wie alle linearen Funktionen die Definitionsmenge \(D = \mathbb R\), weil sich für jedes reelle x einen mathematisch sinnvolle Aussage ergibt.
  • Die Funktion \(\displaystyle y = \frac{1}{x^2-1}\) hat die Definitionsmenge \(D = \mathbb R \setminus \{\pm 1\}\)
  • Die Funktion \(\displaystyle y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\) hat als Definitionsmenge das Intervall D = [–1; 1].

Achtung: Die Definitionsmenge einer Gleichung darf ohne Probleme Zahlen enthalten, die bei Einsetzen zu einer falschen Aussage führen würden. Es darf sich nur keine „nicht definierte Aussage“ wie „\(\displaystyle 2 = \frac 3 0\)“ ergeben.

Die Definitionsmenge einer Funktion wird oft zusammen mit deren Wertemenge W untersucht; letztere ist die Menge aller Funktionswerte, die sich bei Einsetzen von Elementen der Definitionsmenge ergeben können. Wenn eine Funktion f eine Umkehrfunktion f–1 besitzt, tauschen Definitions- und Wertemenge ihre Rollen:

\(D_f = W_{f^{-1}}\)   und   \(W_f = D_{f^{-1}}\)

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