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Lexikon Mathe

Betrag eines Vektors

Der Betrag \(| \vec v |\) eines Vektors \(\vec v\) ist bildlich gesprochen die Länge des zugehörigen „Vektorpfeils“, weswegen man oft auch von der Länge des Vektors spricht. Wenn man die Komponenten eines zweidimensionalen Vektors kennt, kann man seinen Betrag einfach mit dem Satz des Pythagoras ausrechnen:

\(| \vec v| = \left| \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{v_1^2+ v_2^2}\)

In drei Dimensionen gilt entsprechend

\(| \vec v| = \left| \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \\v_3 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{v_1^2+ v_2^2+ v_3^2}\)

Der Abstand zwischen zwei Punkten ist der Betrag des Differenzvektors ihrer Ortsvektoren.

Der Vektorbetrag ist begrifflich eng verwandt mit dem Betrag von Zahlen. Dieser entspricht dem Abstand einer Zahl auf der Zahlengeraden von der Null und kann als Betrag eines „eindimensionalen Vektors“ aufgefasst werden.

 

Beispiel:
Im dreidimensionalen Raum wird der Punkt A(3|3,5|2,5} durch den Ortsvektor \(\vec a = \begin{pmatrix} 3 \\ 3,5\\ 2,5 \end{pmatrix}\) repräsentiert. Dessen Betrag ist \(| \overrightarrow{a} | = \sqrt{3^2 + 3,5^2 + 2,5^2} \approx 5,2\) – so weit ist A vom Ursprung des gewählten Koordinatensystems entfernt.

Betrag eines Vektors - Abbildung 1

Für zwei Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) gilt die Dreiecksungleichung
\(| \vec a + \vec b | \le | \vec a | + | \vec b |\)

Außerdem gilt für das Skalarprodukt von \(\vec a\) und \(\vec b\)  
\(| \vec a \circ \vec b | \le | \vec a | \cdot | \vec b |\)

und für eine reelle Zahl r
\(| r \cdot \vec b | = |r| \cdot | \vec b |\)

Ein Vektor mit der Länge 1 heißt Einheitsvektor. Man kann jeden beliebigen Vektor \(\vec x\) zum Einheitsvektor machen, indem man ihn skalar mit dem Kehrwert seines Betrags multipliziert:
\(\displaystyle \hat x \equiv \vec x_0 = \frac{1}{| \vec x |} \cdot \vec x\)

Beispiel:

\(\displaystyle \vec x = \dbinom{4}{-3} ;\ \ | \vec x | = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = 5; \ \ \hat x = \frac{1}{5} \cdot \dbinom{4}{-3} = \dbinom{0,8}{-0,6}\)

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