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Lexikon Mathe

Bestimmtes Integral

Das bestimmte Integral ist historisch gesehen der „ursprünglichere“ Integralbegriff, der sich aus der Flächenberechnung von krummlinig begrenzten Figuren entwickelt hat. Für eine integrierbare Funktion f gibt das bestimmte Integral

\(\displaystyle \int_a^bf(x)\,\text dx\)

die Fläche zwischen der x-Achse und dem Funktionsgraphen Gf im Intervall [a; b] an. Oft sagt man auch nur „die Fläche unter dem Funktionsgraphen“, ganz korrekt wäre: „die Fläche der Figur, die von x-Achse, Gf und den senkrechten Verbindungslinien zwischen ihnen bei „x = a“ und „x = b“.

Formal definiert wird das bestimmte Integral als der Grenzwert von Ober- und Untersumme von f in dem Intervall (sofern diese existieren und übereinstimmen).

Kennt man eine Stammfunktion F der Funktion f, dann kann damit und mithilfe des Hauptsatzes der Differenzial- und Integralrechnung das bestimmte Integral direkt ausrechnen:

\(\displaystyle \int_a^bf(x)\,\text dx = F(a) - F(b)\)

 

Eigenschaften des bestimmten Integrals

  • Umkehrung der Integrationsrichtung
    \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\text dx = - \int_b^a f(x)\,\text dx\)
  • Nullstelle der Integralfunktion
    \(\displaystyle \int_a^a f(x)\,\text dx = 0\)
  • Ein konstanter Faktor wird vor das Integral gezogen:
    \(\displaystyle \int_a^b k \cdot f(x)\,\text dx = k \cdot \int_a^b f(x)\,\text dx\)
  • Additivität
    \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\text dx = \int_a^c f(x)\,\text dx + \int_c^b f(x)\,\text dx\)
  • Linearität
    \(\displaystyle \int_a^b f(x) + g(x) \,\text dx = \int_a^b f(x)\,\text dx + \int_a^b g(x)\,\text dx\)
  • Monotonie
    Wenn f(x) < g(x) für alle \(x \in [a; b]\), dann gilt: 
    \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,\text dx < \int_a^b g(x)\,\text dx\)
  • Beschränktheit
    Wenn \(m \le f(x) \le M\) für alle \(x \in [a; b]\), dann gilt:
     
    \(\displaystyle m \cdot(b-a) \le \int_a^b f(x)\,\text dx \le M \cdot(b-a)\)
     

 

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