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Lexikon Mathe

Berechnungen bei Laplace-Experimenten

Bei Laplace-Experimenten (s. Wahrscheinlichkeiten bei Laplace-Experimenten) gilt:

Berechnungen bei Laplace-Experimenten - Abbildung 1

\(|A|\) und \(|\Omega |\) werden mit kombinatorischen Hilfsmitteln bestimmt. (s. Kombinatorik)

Beispiele

  • \(A =\) „Genau fünf Richtige im Lotto“

Die Lotto-Ergebnisse (ohne Zusatzzahl) sind Kombinationen von \(6\) Zahlen ohne Wiederholung aus den \(49\) Zahlen \(1\) bis \(49\).

\(|\Omega | = K_{oW} (49; 6) = \dbinom{49}{6} = \frac{49!}{6!\cdot (49-6)!} = 13 983 816\)

Es wurden fünf Zahlen der sechs gezogenen Zahlen richtig getippt und eine Zahl aus den \(43\) nicht gezogenen Zahlen.

\(|A| = \dbinom{6}{5} \cdot \dbinom{49-6}{6-5} = \dbinom{6}{5} \cdot \dbinom{43}{1} = 6 \cdot 43 = 258\)

\(P (A) =\frac{|A|}{|\Omega |} = \frac{258}{13 983 816} \approx 0,0018 \%\)

  • \(B =\) „Ein bestimmter Spieler bekommt vier Asse bei einem Kartenspiel mit \(32\) Karten und vier Spielern.“

Es werden jeweils \(8\) Karten auf \(4\) Spieler verteilt.

\(|\Omega | = \dbinom{32}{8} \cdot \dbinom{24}{8} \cdot \dbinom{16}{8} \cdot \dbinom{8}{8} = \frac{32!}{(8!)^4}\)

Der bestimmte Spieler erhält die \(4\) Asse und \(4\) andere Karten.

\(|B| = \dbinom{4}{4} \cdot \dbinom{28}{4} \cdot \dbinom{24}{8} \cdot \dbinom{16}{8} \cdot \dbinom{8}{8} = \frac{28!}{4! \cdot (8!)^3}\)

\(P (B) =\frac{|B|}{|\Omega |} = \frac{28! \cdot (8!)^4}{4! \cdot (8!)^3 \cdot 32!} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{29 \cdot 30 \cdot 31 \cdot 32} \approx 0,195 \%\)

 
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