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Lexikon Mathe

Assoziativgesetz

Das Assioziativgesetz, Verbindungsgesetz oder „Klammergesetz“ ist ein grundlegendes Rechengesetz. Es besagt, dass man bei Addition und Multiplikation (bzw. bei allen Rechenarten und -operationen, bei denen es gilt) beliebig Klammern setzen oder weglassen kann:

\(\begin{matrix}(a + b) + c &=& a + (b + c)\\ (a · b) · c &=& a · (b · c)\end{matrix} \)

Beispiele:
\(\begin{matrix} (10 + 8) + 6 &=& 18 + 6 &=& \mathbf{24} &=& 10 + 14 &=& 10 + (8 + 6)\\(2 · 4) · 6 &=& 8 · 6 &=& \mathbf{48} &=& 2 · 24 &=& 2 · (4 · 6)\end{matrix} \)

 

Mithilfe von negativen Vorzeichen („Minus“) und Kehrwerten kann man das Assoziativgesetz auch auf Differenzen und Divisionen ausweiten, für die es sonst nicht gilt (bei der Division müssen im Folgenden \(b, c \ne 0\) sein):

\(\begin{matrix}(a - b) - c &\ne& a - (b - c)\\ (a : b) : c &\ne& a : (b : c)\end{matrix} \)

aber:

\(\begin{matrix}(a - b) - c = [a + (-b)] + (-c) = a + [(-b) + (-c)] = a + (-b -c)\\ \displaystyle (a : b) : c = \left(a \cdot \frac 1 b\right) \cdot \frac 1 c = a \cdot \left(\frac 1 b : c \right) \end{matrix} \)

Das Assoziativgesetz gilt auch für verschiedene Operationen, die auf Vektoren und Matrizen angewendet werden.

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