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Wie du Winkel gleichschenkliger Dreiecke berechnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Winkel gleichschenkliger Dreiecke berechnest

Aufgabe

Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit Basis c. Berechne die übrigen Winkel, wenn gilt:

  1. \(\alpha\) = 65°
  2. \(\gamma\) = 70°

Hinweis

Erstelle dir zunächst eine Planfigur des gleichschenkligen Dreiecks. So kannst du schnell sehen, welcher Winkel des Dreiecks gegeben ist.

Wie du Winkel gleichschenkliger Dreiecke berechnest - Abbildung 1

Lösungsschritte für Teilaufgabe a)

  1. Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit Basis c. Berechne die übrigen Winkel, wenn gilt:
    \(\alpha\) = 65°

Schritt 1: Berechne den zweiten Basiswinkel

Der Basiswinkelsatz besagt: In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß. Da c die Basis ist, sind \(\alpha\) und \(\beta\) die Basiswinkel. Das heißt:

\(\beta = \alpha = 65^°\)

Schritt 2: Berechne den Winkel an der Spitze

Jetzt kannst du die Innenwinkelsumme im Dreieck benutzen. Diese beträgt 180°.

\(\alpha + \beta +\gamma = 180^°\)

\(\gamma = 180^° - \alpha - \beta = 180^° - 2\alpha = 180^° - 130^° = 50^°\)

Lösungsschritte für Teilaufgabe b)

b) Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit Basis c. Berechne die übrigen Winkel, wenn gilt:
\(\gamma\) = 70°

Schritt 1: Berechne den Basiswinkel

Hier hast du den Winkel an der Spitze gegeben und du willst die beiden Basiswinkel berechnen. Diese sind laut Basiswinkelsatz gleich groß. Das heißt:

\(\alpha = \beta\)

Zusammen müssen die drei Winkel der Innenwinkelsumme im Dreieck entsprechen. Diese beträgt 180°. Das heißt:

\(2\alpha + \gamma = 180^°\)

\(2\alpha = 180^° - \gamma= 180^° - 70^°= 110^°\)

\(\alpha = 110^° : 2 = 55^°\)

\(\beta = \alpha = 55^°\)

Lösung

  1. \(\beta = 65^°\), \(\gamma = 50^°\)
  2. \(\alpha = \beta = 55^°\)
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