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Wie du Wahrscheinlichkeiten zusammengesetzter Ereignisse bei einer Binomialverteilung berechnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Wahrscheinlichkeiten zusammengesetzter Ereignisse bei einer Binomialverteilung berechnest

Aufgabe

In einem Gefäß G1 sind 6 schwarze und 4 weiße Kugeln.

In einem Gefäß G2 sind 3 schwarze und 7 weiße Kugeln.

Aus dem Gefäß G1 wird 20-mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 12-mal eine schwarze Kugel gezogen wird.

Schritt 1: Ereignis über Zufallsvariable definieren

Das Ereignis \(E\), dessen Wahrscheinlichkeit zu bestimmen ist, solltest du (der Kürze halber) als Ungleichung formulieren. Es geht um die Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln, sei also \(X\) die Zufallsvariable, die zählt, wie viele der 20 gezogenen Kugeln schwarz sind. Das Ereignis \(E\) tritt ein, wenn mindestens 12 schwarze Kugeln gezogen werden, d. h.:

\(E:X\geq 12\)

Zu bestimmen ist also die Wahrscheinlichkeit \(P(X\geq 12)\).

Verteilung der Zufallsvariable angeben

Um \(P(X\geq 12)\) zu bestimmen, musst du wissen, welche Wahrscheinlichkeitsverteilung \(X\) hat. Da die Kugeln mit Zurücklegen gezogen werden, bleibt der Anteil der schwarzen Kugeln in der Urne immer gleich, nämlich bei \(\frac{6}{10}=0{,}6\). Bei den 20 Ziehungen wird also de facto 20-mal das gleiche Experiment mit gleicher „Trefferwahrscheinlichkeit“ (schwarze Kugel wird als Treffer gewertet) durchgeführt, d. h., es handelt sich um eine Bernoulli-Kette der Länge \(n=20\) mit Trefferwahrscheinlichkeit \(p=0{,}6\). Das bedeutet: Die Anzahl der Treffer \(X\) ist binomialverteilt zu den Parametern \(n=20\) und \(p=0{,}6\).

Verteilungstabellen oder GTR benutzen

Je nach erlaubten Hilfsmitteln gibt es zwei Möglichkeiten, die Wahrscheinlichkeit \( P(X\geq 12)\) zu bestimmen. In jedem Fall musst du aber zuerst die Wahrscheinlichkeit \(P(X\geq 12)\) so umformen, dass in der Klammer kleiner-gleich steht. Das machst du, indem du das Gegenereignis betrachtest: \(X\) nimmt nur ganzzahlige Werte zwischen 0 und 20 an, also ist \(X\) genau dann nicht \( \geq 12\), wenn \(X\leq 11\) ist. Die zugehörige Gegenwahrscheinlichkeit ist:

\(P(X\leq 11)=1-P(X\geq 12)\)

Aufgelöst nach \(P(X\geq 12)\) lautet die Gleichung:

\(\color{green}{P(X\geq 12)=1-P(X\leq 11)}\)

Jetzt musst du \(P(X\leq 11) \)bestimmen.

Falls ein grafikfähiger Taschenrechner erlaubt ist, gehst du wie folgt vor:

Wähle im STAT-Modus im DIST-Menü die BINM-Option. Wähle dann die Bcd-Einstellung. Es erscheint folgende Tabelle:

Data: List

x: List1

Numtrial: 0

p: 0

SaveRes: None

Hier musst du die Kenngrößen \(n=20\) und \(p=0{,}6\) sowie die Höchsttrefferzahl \(x=11\) für die Wahrscheinlichkeit \(P(X\leq 11)\) wie folgt eingeben:

Data: Variable

x: 11

Numtrial: 20

p: 0.6

SaveRes: None

Der Befehl Execute liefert:

Data: Binomial C.D

p=0.40440127

Das bedeutet \(P(X\leq 11)\approx 0{,}404\). Einsetzen in die grüne Formel liefert:

\(P(X\geq 12)\approx 1-0{,}404=0{,}596\)

Dieses Ergebnis musst du noch in Worten formulieren, etwa wie folgt:

Mit einer Wahrscheinlichkeit von knapp 60 % werden bei 20 Ziehungen aus G1 mindestens 12 schwarze Kugeln gezogen.

Falls kein grafikfähiger Taschenrechner erlaubt ist, aber Tabellen für die Binomialverteilung verfügbar sind, so gehst du wie folgt vor:

Suche die Verteilungstabelle für die kumulierte Binomialverteilung mit Parametern \(n=20\). In einer Spalte sind die Wahrscheinlichkeiten für den Parameter \(p=0{,}6\) aufgelistet. Der Eintrag in der Zeile für \(k=11\) gibt \(P(X\leq 11)\) in der Regel auf 4 Nachkommastellen genau an: 0,4044.

Das setzt du in die grüne Formel für \(P(X\leq 11)\) ein und erhältst:

\(P(X\geq 12)\approx 1-0{,}4044=0{,}5956\)

Dieses Ergebnis musst du noch in Worten formulieren, etwa wie folgt:

Mit einer Wahrscheinlichkeit von knapp 60 % werden bei 20 Ziehungen aus G1 mindestens 12 schwarze Kugeln gezogen.

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