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Wie du Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen mit einem Griff bestimmst


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen mit einem Griff bestimmst

Aufgabe

Auf der Speisekarte einer Pizzeria gibt es eine Auswahl von 35 Belägen, aus denen jeder Gast 3 wählen darf. 20 der Beläge sind vegetarisch.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält eine zufällig ausgewählte Pizza 2 vegetarische Beläge?

Hinweis

Bei dieser Art von Aufgabe empfiehlt sich das sogenannte Wabenmodell. Das ist ein Schema, mit dem man übersichtlich das „Ziehen mit einem Griff“ darstellen kann. Am Ende kann man dann die Wahrscheinlichkeit ganz einfach berechnen.

Schritt 1: Wabenmodell erstellen

Beim Ziehen mit einem Griff betrachtest du immer eine Gesamtmenge N aller überhaupt vorhandenen „Kugeln“. Von diesen N Kugeln haben K eine bestimmte Eigenschaft, die gerade interessant ist. Aus den N Kugeln werden beim Ziehen n gezogen. Davon haben k die interessante Eigenschaft.

In der Beispielaufgabe bezeichnen wir die Anzahl aller Zutaten also mit N, die Anzahl der gezogenen mit n. Die Anzahl aller vegetarischen Zutaten bezeichnen wir mit K und die Anzahl der gezogenen vegetarischen Zutaten mit k. Es gilt also:

N = 35n = 3 K = 20 k = 2

Jetzt erstellst du ein 6-eckiges Schema, das Wabenmodell. Allgemein sieht es so aus:

Wie du Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen mit einem Griff bestimmst - Abbildung 1

Jetzt mit den Zahlen aus der Aufgabe: Oben trägst du ein, wie viele Zutaten es insgesamt gibt, also N = 35. Unten trägst du ein, wie viele daraus insgesamt gezogen werden, also n = 3.

Wie du Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen mit einem Griff bestimmst - Abbildung 2

Von den insgesamt 35 Zutaten haben 20 die „interessante“ Eigenschaft, vegetarisch zu sein. Also gibt es 35 − 20 = 15 Zutaten, die nicht vegetarisch sind.

Wie du Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen mit einem Griff bestimmst - Abbildung 3

Dann teilst du, von unten startend, die gezogenen 3 Zutaten ebenso in k = 2 vegetarische und n − k = 1 nicht vegetarische auf.

Wie du Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen mit einem Griff bestimmst - Abbildung 4

Jetzt ist das Wabenmodell fertig.

Hinweis

Beachte, dass die Zahlen der zweiten Zeile zusammen 35 ergeben, also die Zahl aller Zutaten. Die Zahlen der dritten Zeile ergeben 3, also die Anzahl der gezogenen Zutaten.

Schritt 2: Formel aus dem Wabenmodell ablesen

Für das Ziehen mit einem Griff gibt es eine spezielle Formel für die Wahrscheinlichkeit.

\(P= \frac{{K \choose k}{N\ -\ K \choose n\ -\ k}}{N \choose n}\)

Das Gute ist: Du kannst die einzelnen Terme ganz einfach aus dem Wabenmodell ablesen.

Wie du Wahrscheinlichkeiten beim Ziehen mit einem Griff bestimmst - Abbildung 5


Der Term \({K \choose k}{}\) steht links im Wabenmodell. Er ist \({20 \choose 2}\). Wie du den Binomialkoeffizienten bestimmst siehst du hier. Der Term \({N\ -\ K\choose n\ -\ k}\) steht rechts, er ist \({15 \choose 1}\). Der Term \({N \choose n}\) schließlich setzt sich aus der obersten und der untersten Zahl zusammen, er ist \({35 \choose 5}\).

Es ergibt sich:

\(P(2 \ Zutaten \ sind \ vegetarisch) = \frac{{20 \choose 2}{15 \choose 1}}{{35 \choose 3}} = 0,4354 = 43,5\ \%\)

Lösung

\(P(2 \ Zutaten \ sind \ vegetarisch) = 43,5\ \%\)

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