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Wie du Sinus- und Kosinussatz anwendest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Sinus- und Kosinussatz anwendest

Aufgabe

Von einem (nicht rechtwinkligen!) Dreieck sind die Seitenlängen \(a = 4\ \text{cm}\), \(b= 5\ \text{cm}\) und \(c= 6\ \text{cm}\) gegeben. Berechne die Winkelmaße des Dreiecks.

Schritt 1: Erstelle eine Planfigur des Dreiecks

Zu Beginn erstellst du eine Planfigur des gegebenen Dreiecks. Damit hast du stets einen Überblick darüber, welche Größen bereits bekannt sind und welche du noch berechnen musst.

Wie du Sinus- und Kosinussatz anwendest - Abbildung 1

Schritt 2: Markiere gegebene Größen

Bei dieser Aufgabe sind alle drei Seitenlängen des Dreiecks gegeben. Deine Planfigur sollte also in etwa so aussehen:

Wie du Sinus- und Kosinussatz anwendest - Abbildung 2

Schritt 3: Wende den Kosinussatz an

Bei beliebigen Dreiecken, bei denen alle drei Seitenlängen und keine Winkel vorgegeben sind, kannst du nur mit dem Kosinussatz anfangen zu rechnen. Der Sinussatz erfordert mindestens einen gegebenen Winkel.

Der Kosinussatz liefert dir dann deinen ersten Winkel. Theoretisch kannst du jeden der drei Winkel mit dem Kosinussatz berechnen. Damit du aber danach mit dem Sinussatz weitermachen kannst, und zwar ohne Fallunterscheidung, solltest du zu Beginn den Winkel berechnen, der der längsten Seite des Dreiecks gegenüberliegt, hier also \(\gamma\).

Der passende Kosinussatz lautet daher:

\(\mbox{c}^2 = \mbox{a}^2 +\mbox{b}^2 -2\mbox{ab}\cdot\cos(\gamma)\)

Dieser Satz setzt die orange markierten Größen zueinander in Verbindung:

Wie du Sinus- und Kosinussatz anwendest - Abbildung 3

Bevor du in den Kosinussatz einsetzt, kannst du schon einmal umformen.

\(\cos(\gamma) = \frac{\mbox{c}^2\ -\ \mbox{a}^2\ -\ \mbox{b}^2}{-2\mbox{ab}}\)

Jetzt setzt du die bekannten Seitenlängen ein.

\(\cos(\gamma) = \frac{6^2\ -\ 4^2\ -\ 5^2}{-2\ \cdot\ 4\ \cdot\ 5} = 0,125\)

Die Umkehrfunktion des Kosinus (\(\cos^{-1}\)) liefert dir mit dem Taschenrechner:

\(\gamma\approx82,82^°\)

Schritt 4: Wende den Sinussatz an

Da du nun den größten Winkel des Dreiecks berechnet hast, kannst du den Sinussatz ohne Fallunterscheidung anwenden. (Hinweis: Die Fallunterscheidung ist nötig, wenn man beim Sinussatz zwei Seiten und einen Winkel gegeben hat, wobei der gegebene Winkel der kleineren Seite gegenüberliegt.)

Da du nun \( \gamma\) und sämtliche Seiten deines Dreiecks kennst, könntest du sowohl \(\alpha\) als auch \(\beta\) mit dem Sinussatz berechnen. 

Die entsprechenden Paare von Winkeln und gegenüberliegenden Seiten sind in der Planfigur unten jeweils farblich gekennzeichnet.

Wie du Sinus- und Kosinussatz anwendest - Abbildung 4

Wenn du \(\beta\) mit dem Sinussatz berechnen willst, benutzt du ihn in der Form:

\(\frac{\mbox{b}}{\mbox{c}}=\frac{\sin(\beta)}{\sin(\gamma)}\)

Umgestellt lautet die Formel:

\(\sin(\beta) = \frac{\mbox{b}}{\mbox{c}}\cdot\sin(\gamma) \)

Einsetzen ergibt dann:

\(\sin(\beta) = \frac{5}{6}\cdot\sin(82,82^°)\), also:

\(\sin(\beta) \approx0,83\)

Die Umkehrfunktion der Sinusfunktion (\(\sin^{-1}\)) liefert mit dem Taschenrechner:

\(\beta\approx55,77^°\)

Beachte, dass du nur einen Winkel mithilfe des Sinussatzes berechnen musst, denn den dritten berechnest du ganz schnell über die Innenwinkelsumme im nächsten Schritt.

Schritt 5: Nutze den Satz über die Innenwinkelsumme

Mit den zwei berechneten Winkeln kannst du nun den dritten über die Innenwinkelsumme von Dreiecken berechnen. Die beträgt nämlich immer 180°.

\(\alpha +\beta+\gamma=180^°\)

\(\alpha = 180^°- \gamma- \beta\)

Einsetzen liefert dir:

\(\alpha \approx41,41^°\)

Lösung

Die Winkelmaße des Dreiecks sind \(\alpha \approx41,41^°\)\(\beta\approx55,77^°\) und \(\gamma\approx82,82^°\).  

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