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Wie du mit Scheitel- und Nebenwinkelsatz Winkelgrößen berechnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du mit Scheitel- und Nebenwinkelsatz Winkelgrößen berechnest

Aufgabe

Berechne an der folgenden Geradenkreuzung alle fehlenden Winkel.

Wie du mit Scheitel- und Nebenwinkelsatz Winkelgrößen berechnest - Abbildung 1

Schritt 1: Wende den Scheitelwinkelsatz an

An Geradenkreuzungen gelten der Scheitel- und der Nebenwinkelsatz. Um die fehlenden Winkel zu berechnen, brauchst du beide Sätze. Welchen du als Erstes verwendest, ist egal. Der Scheitelwinkelsatz ist etwas einfacher. Er lautet:

An Geradenkreuzungen sind gegenüberliegende Winkel gleich groß.

Der zu \(\alpha\) gegenüberliegende Winkel ist in diesem Bild \(\gamma\). \(\alpha\) und \(\gamma\) sind also Scheitelwinkel. Es gilt

\(\alpha = \gamma\) und deshalb:
\(\gamma = 150^°\)

Schritt 2: Wende den Nebenwinkelsatz an

Jetzt hast du schon \(\alpha\) und \(\gamma\). Um \(\beta\) zu bestimmen, brauchst du den Nebenwinkelsatz. Er lautet:

Benachbarte Winkel an einer Geradenkreuzung ergeben zusammen 180°.

\(\alpha\) und \(\beta\) sind Nebenwinkel. Es gilt also: \(\alpha + \beta = 180^°\). Um \(\beta\) auszurechnen, stellst du die Gleichung um, indem du auf beiden Seiten \(\alpha\) abziehst. Es ergibt sich:

\(\beta = 180^° - \alpha = 180^° - 150^° = 30^°\)

Schritt 3: Wende den Scheitelwinkelsatz an

Es fehlt nur noch der Winkel \(\delta\). Du kannst ihn sowohl mit dem Scheitel- als auch mit dem Nebenwinkelsatz bestimmen, denn: \(\delta\) ist Scheitelwinkel zu \(\beta\) und \(\delta\) ist Nebenwinkel zu \(\alpha\) und zu \(\gamma\). Der Scheitelwinkelsatz ist einfacher. Es ergibt sich direkt:

\(\delta = \beta\), also:
\(\delta = 30^°\)

Lösung

\(\beta = 30^°\)
\(\gamma = 150^°\)
\(\delta = 30^°\)

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