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Wie du mit Beträgen rechnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du mit Beträgen rechnest

Aufgabe

Berechne jeweils:

a) \(|28|-|-5|\)

b) \(|3|\cdot|-4|+|-6|\)

c) \( |5-7|-|2+|-2||\)

Das musst du wissen

Der Betrag einer Zahl gibt ihren Abstand zur 0 an, wenn man sie auf dem Zahlenstrahl betrachtet. Daher ist der Betrag einer positiven Zahl einfach die Zahl selbst. Der Betrag einer negativen Zahl ist ihre positive Gegenzahl. Das kannst du dir an dem folgenden Zahlenstrahl verdeutlichen:

Wie du mit Beträgen rechnest - Abbildung 1

Betrachte die Zahlen 3 und −3. Um sie zu erreichen, musst du von der 0 aus jeweils 3 Längeneinheiten nach rechts bzw. nach links gehen. Beide Zahlen sind also gleich weit von der 0 entfernt und haben daher auch den gleichen Betrag: 3.

Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben immer denselben Betrag.

Lösungsschritte für Teilaufgabe a)

a) Berechne \(|28|-|-5|\).

Schritt 1: Löse die Betragsstriche auf

Als ersten Schritt musst du die Betragszeichen auflösen. Die Regeln kennst du und kannst sie im Abschnitt „Das musst du wissen“ nachlesen.

Da \(28\) positiv ist, gilt:

\(|28|=28\)

\(-5\) ist negativ, daher gilt:

\(|-5|=5\)

Schritt 2: Rechne aus

Jetzt kannst du die Beträge durch die in Schritt 1 berechneten Werte ersetzen und rechnest danach einfach aus.

\(|28|-|-5|=28-5 = 23\)

Lösungsschritte für Teilaufgabe b)

b) Berechne \(|3|\cdot|-4|+|-6|\).

Schritt 1: Löse die Betragsstriche auf

Für die in Teilaufgabe b) auftretenden Zahlen gilt:

\(|3|=3\)

\( |-4|=4\)

\( |-6|=6\)

Schritt 2: Rechne aus

Jetzt kannst du wieder die Beträge durch die entsprechenden Werte aus dem 1. Schritt ersetzen und ausrechnen.

\(|3|\cdot|-4|+|-6|=3\cdot4+6 = 12+6=18\)

Lösungsschritte für Teilaufgabe c)

c) Berechne \(|5-7|-|2+|-2||\).

Schritt 1: Löse die inneren Betragsstriche auf

In Teilaufgabe c) kommt ein verschachtelter Betrag vor, also ein Betrag, in dem noch mal ein weiterer Betrag steht. Zuerst löst du den inneren Betrag auf.

\(|-2|=2\)

Jetzt ersetzt du den inneren Betrag durch seinen in Schritt 1 berechneten Wert.

\(|5-7|-|2+|-2||= |5-7|-|2+2| \)

Schritt 2: Fasse innerhalb der Beträge zusammen

Bevor du nun die anderen Beträge auflösen kannst, musst du die Rechnungen in ihnen erst zusammenfassen.

\(|5-7|-|2+2|=|-2|-|4|\)

Schritt 3: Löse die (äußeren) Betragsstriche auf

Jetzt kannst du die übrigen Beträge berechnen.

\(|-2|=2\)

\(|4|=4\)

Schritt 4: Rechne aus

Zuletzt ersetzt du wieder die Beträge durch die entsprechenden Werte und rechnest aus.

\(|-2|-|4|=2-4=-2\)

Hier ist noch einmal die komplette Rechnung im Überblick:

\(|5-7|-|2+|-2||= |5-7|-|2+2|=|-2|-|4|=2-4=-2\)

Lösung

a) \(|28|-|-5|=23\)

b) \( |3|\cdot|-4|+|-6|=18\)

c) \(|5-7|-|2+|-2||=-2\)

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