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Wie du Kreisausschnitte und die Bogenlinie berechnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Kreisausschnitte und die Bogenlinie berechnest

Aufgabe

Berechne die Länge des Kreisbogens \(s\) für \(\alpha=65°\) und \(r=1\)

Wie du Kreisausschnitte und die Bogenlinie berechnest - Abbildung 1

Schritt 1: Formel für den Kreisbogen aufstellen

Der volle Kreisumfang eines Kreises  mit dem Radius r ist \(2\pi\cdot r\); das musst du wissen. Der Kreisbogen \(s\) errechnet sich mit dem Dreisatz wie folgt:

Der volle Kreisumfang \(2\pi\cdot r\) entspricht einer vollen Umdrehung, also einem Winkel von \(360°\).

Der Kreisbogen \(s\) verhält sich also zum vollen Umfang \(2\pi\cdot r\) genauso, wie der Öffnungswinkel \(\alpha\) zum Vollwinkel \(360°\), d. h.

\(\frac{s}{2\pi\cdot r}=\frac{\alpha}{360°}\).

Multiplikation dieser Gleichung mit \(2\pi\cdot r \) liefert die Formel

\(s=2\pi\cdot r\cdot\frac{\alpha}{360°}=\color{green} {\frac{\pi\cdot r\cdot\alpha}{180°}}\).

Schritt 2: Werte einsetzen und berechnen

Jetzt setzt du die Werte \(r=1\) und \(\alpha=65°\) in die grüne Formel ein und bekommst

\(\begin{align*} s&=\frac{\pi\cdot r\cdot\alpha}{180°}\\ &=\frac{\pi\cdot 65°}{180°}\\&=\frac{13}{36}\pi\\ &\approx 1{,}13. \end{align*}\)

Lösung

Für \(\alpha = 65°\) und \(r = 1\) hat der Kreisbogen \(s\) eine Länge von ca. \(1,13 \text{ LE}\).

Bemerkung:

Die Berechnung der Fläche eines Kreissektors geht analog:

Der Flächeninhalt des ganzen Kreises ist \(\pi\cdot r^2\).

Die Fläche des Kreissektors verhält sich zur gesamten Kreisfläche wie der Öffnungswinkel \(\alpha\) zum Vollwinkel \(360°\), d. h.

\(\frac{A_{\text{Sektor}}}{\pi\cdot r^2}=\frac{\alpha}{360°}\).

Multiplikation dieser Gleichung mit \(\pi\cdot r^2\) liefert die Formel

\(A_{\text{Sektor}}=\pi\cdot r^2\frac{\alpha}{360°}\).

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