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Wie du Irrationalitätsbeweise für einfache Wurzelausdrücke durchführst


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Irrationalitätsbeweise für einfache Wurzelausdrücke durchführst

Aufgabe

Kreuze an, ob die folgenden Zahlen rational oder irrational sind.

  rational irrational
\(\sqrt{6}\)    
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)    
\(\sqrt{\frac{16}{64}}\)    
\(\sqrt{\frac{50}{196}}\)    

Schritt 1: Vorüberlegungen

Eine Zahl heißt rational, wenn sie als Bruch zweier ganzer Zahlen geschrieben werden kann. Dazu gehören alle natürliche Zahlen, z. B.  \(5=\frac{5}{1}\), und ihre Gegenzahlen, z. B.  \(-5=\frac{-5}{1}\).

Eine Zahl heißt irrational, wenn sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen geschrieben werden kann. Das sind unendliche, nicht periodische Dezimalzahlen, wie z. B.

\(\sqrt(2)=1,41421356\dots\)

und die Kreiszahl

\(\pi=3,14159265\dots\)

Um zu zeigen, dass eine Zahl \(x \) rational ist, findest du am besten ganze Zahlen \(a\) und \(b\), so dass \(x=\frac{a}{b}\) ist.

Wenn du beweisen willst, dass eine Zahl \(x\) irrational ist, dann gibt es zwei Methoden, die beide im Folgenden vorgeführt werden.

1. Methode:

Die 1. Methode beruht auf Fakten, die ihr wahrscheinlich im Unterricht gelernt habt und ohne Beweis in der Klassenarbeit benutzen dürft. Die drei wichtigsten Fakten zum Thema Irrationalität sind die folgenden:

  1. Jede natürliche Zahl, die keine Quadratzahl ist, hat eine irrationale Quadratwurzel. Analog gilt: Jede natürliche Zahl, die keine Kubikzahl ist, hat eine irrationale Kubikwurzel usw. Das sind Fakten, die man mit den Mitteln der 9. Klasse beweisen kann.
  2. Wendet man die vier Grundrechenarten auf rationale Zahlen an, dann kommen rationale Zahlen raus. Multipliziert man eine irrationale Zahl mit einer rationalen Zahl (außer 0), so kommt etwas Irrationales raus. Addiert man eine rationale und eine irrationale Zahl, so ist das Ergebnis irrational.
  3. Die Kreiszahl \(\pi\) ist irrational. Das ist eine Tatsache, die man (soweit bisher bekannt) nicht mit Mitteln der 9. Klasse beweisen kann.

2. Methode:

Die zweite Methode ist der klassische Widerspruchsbeweis, wie er z. B. für \(\sqrt{2} \) geführt wird. Man nimmt an, man könne die Zahl als gekürzten Bruch schreiben, und zeigt, dass der Bruch aber dann nicht gekürzt sein kann.

Schritt 2: Gegebene Zahlen auf Rationalität prüfen

 

\(x=\sqrt{6}\)

Diese Zahl ist irrational.

Begründung mit der 1. Methode:

6 ist keine Quadratzahl, denn \( 2^2=4\) ist zu klein und \(3^2=9\) ist zu groß und zwischen 2 und 3 gibt es keine ganzen Zahlen. Man weiß, dass Quadratwurzeln natürlicher Zahlen nur dann rational sind, wenn die betreffenden natürlichen Zahlen Quadratzahlen sind. Also ist \(\sqrt{6} \) irrational.

Beweis mit der 2. Methode:

Angenommen, \( \sqrt{6}\) wäre rational. Dann gäbe es ganze Zahlen \(a\) und \(b\neq 0\), so dass \(\sqrt{6}=\frac{a}{b}\) gilt. Außerdem können wir annehmen, dass der Bruch gekürzt ist, d. h. \(a\) und \(b\) haben keinen gemeinsamen Teiler (außer 1 natürlich).

Nehmen wir beide Seiten der letzten Gleichung zum Quadrat, so ergibt sich

\(\sqrt{6}^2=\left(\frac{a}{b}\right)^2\),

wobei \(\sqrt{6}^2=6\) und

\(\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{a^2}{b^2}\)

ist.

Die Gleichung lautet also jetzt

\(6=\frac{a^2}{b^2}\).

Durch Multiplikation mit \(b^2\) bekommst du die Gleichung

\(\color{green} {6b^2=a^2}\).

Die linke Seite ist durch 2 teilbar, denn \(6b^2=2\cdot 3b^2\) und \(3b^2\) ist eine ganze Zahl, weil \(b\) eine ganze Zahl ist.

Wenn aber die linke Seite durch 2 teilbar ist, dann auch die rechte. Also ist

\(a^2=2\cdot k\)

für irgendeine ganze Zahl \(k\). Die Primzahl 2 kommt also in der Primfaktorzerlegung von \(a^2\) vor. Aber \(a^2=a\cdot a\), d. h. in der Primfaktorzerlegung von \(a^2\) kommen dieselben Primzahlen vor, wie bei \(a\), nur eben doppelt so oft. Wenn also 2 in der Primfaktorzerlegung von \(a^2\) vorkommt, dann auch in der Zerlegung von \(a\). Das heißt aber, dass \(a=2\cdot l \) für irgendeine ganze Zahl \(l\) gilt.

Setze jetzt \(a=2\cdot l\) in die grüne Gleichung \(6b^2=a^2\) ein und erhalte

\(6b^2=(2l)^2=4l^2\).

Teile beide Seiten durch 2:

\(3b^2=2l^2\).

Rechts steht wieder eine 2, d. h. die Primzahl 2 taucht in der Primfaktorzerlegung von \(3b^2 \) auf. \(3b^2\) hat aber die gleiche Primfaktorzerlegung wir \(b^2\), außer dass die Primzahl 3 noch einmal mehr drankommt. Wenn also die 2 in der Zerlegung von \(3b^2\) vorkommt, dann auch in der Zerlegung von \( b^2\). Aber \(b^2\) hat dieselben Primfaktoren wie \(b\), nur eben jeweils doppelt so oft. Das heißt, die Primzahl 2 kommt schon in der Zerlegung von \( b \) vor. Das bedeutet, dass \(b=2\cdot m\) für irgendeine ganze Zahl \(m\) gilt.

Das kann aber nicht sein, denn wir hatten vorhin schon

\(a=2\cdot l\)

und damit wäre ja

\(\frac{a}{b}=\frac{2\ \cdot\ l}{2\ \cdot\ m}\)

nicht gekürzt. Es ist somit nicht möglich, \(\sqrt{6}\) als gekürzten Bruch zu schreiben, also ist diese Zahl irrational.

 

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Auch diese Zahl ist irrational.

Begründung mit der 1. Methode:

\(\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\) ist ein Produkt aus einer rationalen Zahl \(\frac{1}{2}\neq 0 \) und der irrationalen Zahl \(\sqrt{2}\) (2 ist keine Quadratzahl, deswegen ist \(\sqrt{2}\) irrational). Daher ist \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) irrational. Wäre nämlich \(\frac{\sqrt{2}}{2} \)rational, dann auch das Doppelte davon, also \(2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\), aber das ist ja bekanntlich nicht der Fall.

Beweis mit der 2. Methode:

Angenommen, \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) wäre rational. Dann gäbe es ganze Zahlen \(a\) und \(b\neq 0\), so dass

\(\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a}{b}\), also

\(\sqrt{2}=\frac{2a}{b}\)

gilt. Die Zahl \(a'=2a\) ist eine ganze Zahl mit

\(\sqrt{2}=\frac{a'}{b}\)

und wir können annehmen, dass dieser Bruch gekürzt ist, d. h. \(a'\) und \(b\) haben keinen gemeinsamen Teiler (außer 1 natürlich).

Ab jetzt verläuft der Widerspruchsbeweis ganz genau wie für \(\sqrt{6}\) (s. o.)

 

\(\sqrt{\frac{16}{64}}\)

Den Bruch \(\frac{16}{64}\) kannst du kürzen: Er ist gleich \(\frac{1}{4}\). Deswegen ist

\(\sqrt{\frac{16}{64}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}\)

und das ist ein Bruch zweier ganzer Zahlen, also rational.

Bemerkung:

Du kannst auch gleich erkennen, dass 16 und 64 Quadratzahlen sind und dann folgern, dass

\(\sqrt{\frac{16}{64}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{64}}=\frac{4}{8}\) rational ist.

 

\(\sqrt{\frac{50}{196}}\)

Diese Zahl ist irrational.

Begründung mit der 1. Methode:

Es ist

\(\sqrt{\frac{50}{196}}=\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{196}}\),

wobei \( \sqrt{196}=14\) ist. (Entweder du kennst die Quadratzahlen bis \(20^2\) auswendig oder du gibst \(\sqrt{196}\) in deinen Taschenrechner ein.)

Also ist \(\sqrt{\frac{50}{196}}=\frac{1}{14}\sqrt{50}\) ein Produkt aus einer rationalen Zahl \(\left(\frac{1}{14}\neq 0\right)\) und der irrationalen Zahl \(\sqrt{50} \) (Da 50 keine Quadratzahl ist, ist \(\sqrt{50}\) irrational.). Somit ist \(\sqrt{\frac{50}{196}}\) irrational.

Beweis mit der 2. Methode:

Angenommen, \(\sqrt{\frac{50}{196}} \)wäre rational. Dann gäbe es ganze Zahlen \(a\) und \(b\neq 0\), so dass

\(\sqrt{\frac{50}{196}}=\frac{a}{b}\), also

\(\sqrt{50}=\sqrt{196}\cdot\frac{a}{b}=14\cdot\frac{a}{b}=\frac{14a}{b}\).

Die Zahl \(a'=14a\) ist eine ganze Zahl mit

\(\sqrt{50}=\frac{a'}{b}\)

und wir können annehmen, dass dieser Bruch gekürzt ist, d. h. \(a' \) und \(b\) haben keinen gemeinsamen Teiler (außer 1 natürlich).

Ab jetzt verläuft der Widerspruchsbeweis ganz genau wie für \(\sqrt{6}\) (s. o.)

Lösung

Es ergibt sich folgende Tabelle:

  rational irrational
\(\sqrt{6}\)   x
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)   x
\(\sqrt{\frac{16}{64}}\) x  
\(\sqrt{\frac{50}{196}}\)   x

Bemerkung:

In dieser Aufgabenstellung waren keine Rechnungen, Begründungen oder gar Beweise gefragt, sondern nur die Kreuzchen an der richtigen Stelle. Die ausführliche Anleitung dient als Beispiel, um die verschiedenen Methoden aufzuzeigen, mit denen man Irrationalitätsbeweise führen kann.

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