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Wie du Gleichungen Graphen von Potenzfunktionen zuordnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Gleichungen Graphen von Potenzfunktionen zuordnest

Aufgabe

Ordne den Graphen die zugehörigen Potenzgleichungen zu.

(1) \(f(x)=0{,}5x^3\) (2) \(f(x)=0{,}5x^4\) (3) \(f(x)=(x+2)^3\)
(4) \(f(x)=-(x+2)^3\) (5) \(f(x)=x^3+2\) (6) \(f(x)=0{,}5x^6\)
(7) \(f(x)=x^{-3}\) (8) \(f(x)=0{,}5x^{-3}\) (9) \(f(x)=x^{-2}\)
(10) \(f(x)=2x^{-2}\) (11) \(f(x)=-2x^{-2}\) (12) \(f(x)=x^4-2\)

 

a)                                                                          b)                                                                                       c)

Wie du Gleichungen Graphen von Potenzfunktionen zuordnest - Abbildung 1   Wie du Gleichungen Graphen von Potenzfunktionen zuordnest - Abbildung 2  Wie du Gleichungen Graphen von Potenzfunktionen zuordnest - Abbildung 3

Schritt 1: Symmetrie erkennen

Bei Potenzfunktionen treten zwei Arten von Symmetrie auf:

  1. Achsensymmetrie zu irgendeiner senkrechten Achse: das ist genau dann der Fall, wenn der Exponent der Potenzfunktion gerade ist.
  2. Punktsymmetrie zu einem Punkt: das ist genau dann der Fall, wenn der Exponent der Potenzfunktion ungerade ist. Ein Graph ist Punktsymmetrisch zum Punkt p, wenn er nach einer 180°-Drehung um den Punkt p unverändert erscheint.

Bei Graph a) liegt Punktsymmetrie vor:

Wie du Gleichungen Graphen von Potenzfunktionen zuordnest - Abbildung 4

Du kannst nämlich die grüne Kurve um 180° um den blauen Punkt drehen und sie sieht nachher wieder genauso aus. Das bedeutet also, dass bei dieser Potenzfunktion der Exponent ungerade ist, d. h. nur die Gleichungen (1), (3), (4), (5), (7) und (8) kommen für diesen Graphen infrage.

Das nächste wichtige Kennzeichen ist die x -Koordinate des Symmetriepunkts. Hier liegt er bei \(x=\color{green}{-2}\). Das bedeutet, dass die Basis der Potenzfunktion von der Form \((x-(\color{green}{-2}))=(x+2)\) sein muss. Somit kommen nur noch die Gleichungen (3) und (4) infrage.

Schritt 2: Orientierung und ggf. Definitionslücken untersuchen

Der Unterschied zwischen den Gleichungen (3) und (4) besteht in dem Minuszeichen vor der Potenz. Dieser bewirkt eine vertikale Spiegelung. Was du wissen musst, ist, wie die "normalen" (d. h. nicht gespiegelten) Potenzfunktionen aussehen: 
 

  1. Bei geraden positiven Exponenten sind die Graphen nach oben geöffnet und haben (mindestens) einen tiefsten Punkt, z. B. \(f(x)=x^2\).

Wie du Gleichungen Graphen von Potenzfunktionen zuordnest - Abbildung 5

  1. Bei geraden negativen Exponenten verlaufen die Graphen in der Nähe der Definitionslücke oberhalb der x-Achse, z. B. \(f(x)=x^{-2}-2\).

Wie du Gleichungen Graphen von Potenzfunktionen zuordnest - Abbildung 6

  1. Bei ungeraden positiven Exponenten verläuft der Graph von links unten nach rechts oben, z. B. \(f(x)=x^3\).

Wie du Gleichungen Graphen von Potenzfunktionen zuordnest - Abbildung 7

  1. Bei ungeraden negativen Exponenten verläuft der Graph unmittelbar links von der Definitionslücke unterhalb der x-Achse, und unmittelbar rechts davon oberhalb der x-Achse, z. B. \(f(x)=x^{-3}\).

Wie du Gleichungen Graphen von Potenzfunktionen zuordnest - Abbildung 8

Das sind also die "Normalfälle". Unser Graph gehört zu einer Potenzfunktion mit ungeradem Exponenten, sieht aber weder wie 3. noch wie 4. aus, sondern verläuft von links oben nach rechts unten. Also ist er gespiegelt. Daher gehört die Gleichung (4) und nicht (3) zum grünen Graphen.

 

Lösung Teilaufgabe a)

Funktionsgleichung (4): \(f(x)=-(x+2)^3\)

 

Schritt 1: Symmetrie erkennen

Der Graph b) ist symmetrisch zur y-Achse:

Wie du Gleichungen Graphen von Potenzfunktionen zuordnest - Abbildung 9

Du kannst nämlich die blaue Kurve an der rot gestrichelten Linie spiegeln und er sieht nachher wieder genauso aus. Das bedeutet also, dass bei dieser Potenzfunktion der Exponent gerade ist, d. h. nur die Gleichungen (2), (6), (9), (10), (11) und (12) kommen für diesen Graphen infrage.

Das nächste wichtige Kennzeichen ist die x-Koordinate der Symmetrieachse. Hier liegt sie bei \(x=\color{green}{0}\). Das bedeutet, dass die Basis der Potenzfunktion von der Form \((x-(\color{green}{0}))=x\) sein muss. In diesem Fall schränkt das die Auswahl nicht weiter ein, weil die Gleichungen (2), (6), (9), (10), (11) und (12) alle die Basis x haben.

Schritt 2: Orientierung und ggf. Definitionslücken untersuchen

Der blaue Graph hat grob die Form unseres Beispiels für gerade negative Exponenten:

Funktionsgraph b)                                                                        Beispielfunktion 2 (s. o.)

Wie du Gleichungen Graphen von Potenzfunktionen zuordnest - Abbildung 10       Wie du Gleichungen Graphen von Potenzfunktionen zuordnest - Abbildung 11

Dieser Graph ist also nicht gespiegelt, d. h. es steht kein Minuszeichen vor der Potenz. Außerdem sieht man an der Definitionslücke bei \(x=0\), dass die Potenzfunktion einen negativen Exponenten haben muss. Aus unserer Liste der Funktionen, die noch im Rennen sind, haben nur (9), (10) und (11) negative Exponenten. Dabei hat (11) ein Minuszeichen vor der Potenz. Diese Funktion kommt also nicht infrage, weil sie im Vergleich zum Normalfall (obige rote Kurve) gespiegelt ist.

Jetzt bleiben also nur noch zwei Möglichkeiten, nämlich (9) und (10). Diese haben die gleiche Basis, den gleichen Exponenten und die gleiche Orientierung. Sie unterscheiden sich also nur um den Streckfaktor 2. Funktionen, die sich so ähnlich sind, vergleichst du am besten über einen Funktionswert, den du in der Skizze gut ablesen kannst. Die blaue Kurve geht ungefähr durch den Punkt \((1|2)\):

Wie du Gleichungen Graphen von Potenzfunktionen zuordnest - Abbildung 12

Das bedeutet, dass für die Funktion \(f(1)=2\) gelten muss.

Mit der Gleichung (9) ergibt sich: \(f(x)=x^{-2}\Longrightarrow f(1)=1\).

Mit der Gleichung (10) ergibt sich: \(f(x)=2x^{-2}\Longrightarrow f(1)=2\).

Also ist (10) und nicht (9) die richtige Gleichung für die blaue Kurve.

 

Lösung Teilaufgabe b)

Funktionsterm (10): \(f(x)=2x^{-2}\)

 

Schritt 1: Symmetrie erkennen

Graph c) ist symmetrisch zur y-Achse

Wie du Gleichungen Graphen von Potenzfunktionen zuordnest - Abbildung 13

Du kannst nämlich diese grüne Kurve an der rot gestrichelten Linie spiegeln und er sieht nachher wieder genauso aus. Das bedeutet also, dass bei dieser Potenzfunktion der Exponent gerade ist, d. h. nur die Gleichungen (2), (6), (9), (10), (11) und (12) kommen für diesen Graphen infrage.

Das nächste wichtige Kennzeichen ist die x-Koordinate der Symmetrieachse. Hier liegt sie bei \(x=\color{green}{0}\). Das bedeutet, dass die Basis der Potenzfunktion von der Form \((x-(\color{green}{0}))=x\) sein muss. In diesem Fall schränkt das die Auswahl nicht weiter ein, weil die Gleichungen (2), (6), (9), (10), (11) und (12) alle die Basis x haben.

 

Schritt 2: Orientierung und ggf. Definitionslücken untersuchen

Der Graph c) entspricht keinem unserer Beispiele für nicht gespiegelte Potenzfunktionen. Dieser Graph ist also gespiegelt, d. h. es steht ein Minuszeichen vor der Potenz. Außerdem sieht man an der Definitionslücke bei \(x=0\), dass die Potenzfunktion einen negativen Exponenten haben muss. Aus unserer Liste der Funktionen, die noch im Rennen sind, haben nur (9), (10) und (11) negative Exponenten. Dabei hat nur (11) ein Minuszeichen vor der Potenz.

Also ist (11) die richtige Gleichung für die blaue Kurve.

 

Lösung Aufgabeteil c)

Funktionsgleichung (11): \(f(x)=-2x^{-2}\)

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