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Wie du geschickt rechnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du geschickt rechnest

Aufgabe

Berechne geschickt.

\([(1\frac{4}{9} + 1\frac{1}{5}+ \frac{5}{9}) \;– (1,8\cdot\frac{2}{3}-\frac{2}{3} \cdot0,3)]\) : 3 

Schritt 1: Term in einzeln zu berechnende Abschnitte aufteilen

Teile zunächst deinen Term in einzeln zu berechnende Abschnitte auf. Hier musst du die Rechenregeln beachten, also:

  • zuerst Klammern berechnen; zuerst immer innere Klammern berechnen
  • Punktrechnung kommt vor Strichrechnung

Abschnitte

  1. \((1\frac{4}{9} + 1\frac{1}{5}+ \frac{5}{9})\)
  2. \((1\frac{4}{9} + 1\frac{1}{5}+ \frac{5}{9})\)

Schritt 2: Art des Terms und der Abschnitte bestimmen 

Erste innere Klammer (Abschnitt 1): Summe (+)
Zweite innere Klammer (Abschnitt 2): Differenz () zweier Produkte \((\cdot)\)
Eckige Klammer: Differenz ()
Gesamter Term: Quotient (:) mit einer Differenz (–) in Klammern

Schritt 3: Abschnitte mithilfe der Rechengesetze berechnen

Abschnitt 1 ist eine Summe: \(1\frac{4}{9}\) + \(1\frac{1}{5}+ \frac{5}{9}\)

Rechengesetze: Assoziativ- und Kommutativgesetz

Rechenvorteil
Kommutativgesetz: Zwei Brüche haben bereits den gleichen Nenner. Diese zu addieren, ist also einfach möglich:

\(1\frac{4}{9} + 1\frac{1}{5}+ \frac{5}{9} =\)

\((1\frac{4}{9} + \frac{5}{9}) + 1\frac{1}{5} =\)

\(1\frac{9}{9} + 1\frac{1}{5} =\)

\(2 + 1\frac{1}{5} = 3\frac{1}{5}\)

Abschnitt 2 ist eine Differenz zweier Produkte: \(1,8\cdot\frac{2}{3}-\frac{2}{3} \cdot0,3\)

Rechengesetze: ggf. Distributivgesetz, wenn die Produkte einen gleichen Faktor enthalten

Rechenvorteil
Mit dem Distributivgesetz ausklammern: Die beiden Produkte haben den gleichen Faktor \(\frac{2}{3}\), der ausgeklammert werden kann. Dadurch bleibt eine Differenz stehen, bei der Minuend und Subtrahend Dezimalzahlen sind. Damit kann man leichter rechnen.

\(1,8\cdot\frac{2}{3}-\frac{2}{3} \cdot0,3 =\)

\((1,8\ –\ 0,3) \cdot\frac{2}{3} =\)

\(1,5 \cdot\frac{2}{3} =\)

\(\frac{15}{10}\cdot\frac{2}{3} =\)

\(\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3} = \frac{6}{6} = 1\)

Hinweis

\(\frac{15}{10}\) kann gekürzt werden! Auch das gehört zum geschickten Rechnen, denn mit kleinen Zahlen lässt sich besser rechnen!
Gerade beim Kürzen großer Zahlen helfen die Teilbarkeitsregeln! Beispiel:

\(\frac{2}{3}\cdot \frac{363}{268} = \frac{1}{1}\cdot\frac{121}{134} = \frac{121}{134}\)

2 teilt 268, denn  2 teilt 8 (die letzte Ziffer)
3 teilt 363, denn 3 teilt 12 (Quersumme von 363)

Schritt 4: Gesamten Term mit Teilergebnissen ausrechnen

Mit den Ergebnissen aus Schritt 3 sieht der Term nun folgendermaßen aus:

\([(1\frac{4}{9} + 1\frac{1}{5}+ \frac{5}{9})\ – (1,8\cdot\frac{2}{3}-\frac{2}{3} \cdot0,3)] : 3 =\)

\([3\frac{1}{5} - 1] : 3\)

Rechengesetze: Distributivgesetz

Rechenvorteil
Du könntest das Distributivgesetz anwenden und schreiben:

\([3\frac{1}{5} - \frac{4}{15}] : 3 =\)

\(3\frac{1}{5} : 3 - 1 : 3\)

Dies bringt aber keinen echten Rechenvorteil, da die Differenz in der Klammer schon sehr leicht zu berechnen ist:

\([3\frac{1}{5} - 1] : 3 = \)

\(2\frac{1}{5} : 3 =\)

\(\frac{11}{5}\cdot\frac{1}{3} =\)

\(\frac{11}{15}\)

Lösung

\(\frac{11}{15}\)

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