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Wie du Geradengleichungen für Geraden im Raum angibst


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Geradengleichungen für Geraden im Raum angibst

Aufgabe

Stelle die Geradengleichung der Geraden auf, die durch die Punkte A(4|−2|3) und B(−2|1|4) verläuft.

Schritt 1: Berechne den Richtungsvektor

Eine Geradengleichung für Geraden im Raum besteht immer aus einem Stützvektor \(\overrightarrow{p}\) und einem Richtungsvektor \(\overrightarrow{u}\). Allgemein lautet sie:

\(\overrightarrow{X} = \overrightarrow{p} + t \cdot \overrightarrow{u}\)

Zuerst solltest du den Richtungsvektor berechnen. Der Richtungsvektor ist einfach immer der Verbindungsvektor der beiden gegebenen Punkte. Berechne also nach dem Prinzip „Spitze minus Fuß“.

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 4 \end {array}\right) - \left(\begin{array}{c}4 \\ -2 \\ 3 \end {array}\right) = \left(\begin{array}{c}-6 \\ 3 \\ 1 \end {array}\right)\)

Der Richtungsvektor \(\overrightarrow{u}\) lautet also:

\(\overrightarrow{u} = \left(\begin{array}{c}-6 \\ 3 \\ 1 \end {array}\right)\)

Schritt 2: Stelle die Geradengleichung auf

Für deine Geradengleichung fehlt dir jetzt noch der Stützvektor. Praktischerweise kannst du für diesen immer den Ortsvektor von einem der gegebenen Punkte verwenden. Das bedeutet, dass du zum Beispiel die Koordinaten von Punkt A einfach als Vektor schreibst.

\(\overrightarrow{p} = \left(\begin{array}{c}4\\ -2 \\3\end{array}\right)\)

Somit kannst du die Geradengleichung aufstellen. Dazu setzt du in die allgemeine Geradengleichung für \(\overrightarrow{p}\) den Stützvektor ein und für \(\overrightarrow{u}\) den vorhin berechneten Richtungsvektor.

\(\overrightarrow{X} = \left(\begin{array}{c}4\\-2 \\ 3\end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c}-6\\3\\ 1\end{array}\right)\)

Lösung

Die gesuchte Geradengleichung lautet:

\(\overrightarrow{X} = \left(\begin{array}{c}4\\-2 \\ 3\end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c}-6\\3\\ 1\end{array}\right)\)

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