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Wie du gebrochenrationale Funktionsterme zu gegebenen Asymptoten bestimmst


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du gebrochenrationale Funktionsterme zu gegebenen Asymptoten bestimmst

Aufgabe

Die folgenden beiden Asymptoten sind gegeben:

\(x =1\)

\(y=1\)

Wie du gebrochenrationale Funktionsterme zu gegebenen Asymptoten bestimmst - Abbildung 1

Welcher der folgenden drei Funktionsterme wird durch einen Graphen abgebildet, der genau diese beiden und keine weiteren Asymptoten besitzt?

a) \(f(x)=\frac{3}{(x\ -\ 1)(x\ +\ 2)}\)

b) \(g(x)=\frac{x}{x\ -\ 1}\)

c) \(h(x)=\frac{1}{x\ -\ 1}\)

Schritt 1: Ordne die senkrechte Asymptote einer Definitionslücke zu

Die senkrechte Asymptote ist \(x=1\), deshalb besitzt die Funktion an dieser Stelle eine Definitionslücke. Das heißt, dass der Nenner der gesuchten Funktion für \(x=1\) null ergeben muss.
Wenn du die drei möglichen Terme anschaust, siehst du, dass alle drei den Term \( (x-1)\), der für \(x=1\) null ergibt, im Nenner stehen haben. Somit haben alle drei Funktionen eine senkrechte Asymptote bei \(x=1\).
Antwortmöglichkeit a hat allerdings noch eine zweite Definitionslücke. Denn für \( x=-2\) ergibt der 2. Faktor im Nenner, \((x+2)\), null. Damit besitzt sie noch eine zweite senkrechte Asymptote.
Da wir aber nur eine senkrechte Asymptote haben, scheidet Antwortmöglichkeit a aus.

Schritt 2: Bestimme die waagerechte Asymptote mithilfe einer Wertetabelle

Eine waagerechte Asymptote bestimmst du, indem du Werte mit sehr großem Betrag in die Funktionen einsetzt und dir dann anschaust, welchem Wert sie sich annähern. Erstelle also eine Wertetabelle. Runde dabei die Werte so, dass du eine Tendenz ablesen kannst.

x

−1000

−100

−10

10

100

1000

g(x)

0,999

0,99

0,9

1,1

1,01

1,001

h(x)

−0,001

−0,01

−0,1

0,1

0,01

0,001

Aus dieser Tabelle erkennst du, dass sich g(x) dem Wert 1 und h(x) dem Wert 0 annähert. Damit weißt du, dass g(x) die gesuchte Funktion ist, denn die waagerechte Asymptote ist bei 1.
Die waagerechte Asymptote von h(x) wäre bei \( y=0\).

Lösung

Die gebrochenrationale Funktion \(g(x)=\frac{x}{x-1}\) hat Asymptoten bei \(x=1\) und \(y=1\).

Hier sind noch einmal die Graphen aller drei Funktionen abgebildet:

Wie du gebrochenrationale Funktionsterme zu gegebenen Asymptoten bestimmst - Abbildung 2
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