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Wie du Funktionsterme den Graphen von quadratischen Funktionen zuordnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Funktionsterme den Graphen von quadratischen Funktionen zuordnest

Aufgabe

Welcher der Funktionsterme passt zu der abgebildeten Parabel?

Wie du Funktionsterme den Graphen von quadratischen Funktionen zuordnest - Abbildung 1

a) \(f(x) = 3(x-1)^2\)

b) \(g(x) = 2(x-1)^2+3\)

c) \(h(x) = (x-1)^2+3\)

d) \(i(x) = 2(x+1)^2+3\)

e) \(k(x) = 2(x-1)^2-3\)

Das musst du wissen

Wenn du wie in diesem Fall eine Parabel gegeben hast, ist es ganz einfach, daraus die Scheitelpunktform der Funktion abzulesen.

Die Scheitelpunktform sieht allgemein ausgedrückt wie folgt aus:

\(f(x)=a (x-d)^2+e\)

Das heißt, du musst die Parameter \(a\), \(d\) und \(e\) bestimmen.

\(d\) und \(e\) kannst du mithilfe des Scheitelpunktes herausfinden. Für \(a\) musst du die Streckung der Parabel betrachten.

Schritt 1: Lies den Scheitelpunkt der Parabel ab

Beginne mit dem Scheitelpunkt! Der Scheitelpunkt dieser Parabel liegt bei \(S(1|3)\).

Wie du Funktionsterme den Graphen von quadratischen Funktionen zuordnest - Abbildung 2

Allgemein ausgedrückt liegt er bei \(S(d|e)\).

Jetzt weißt du schon, dass \(d=1\) sein muss und \( e=3\).

Achte beim Einsetzen in die allgemeine Formel auf die Vorzeichen!

Die Gleichung sieht also nun so aus: 

\(f(x)=a (x-1)^2+3\)

Damit kannst du die Antwortmöglichkeiten a), d) und e) ausschließen. 

Schritt 2: Bestimme die Streckung der Parabel

Nun musst du noch den Streckungsfaktor \(a\) bestimmen. Bei einer Normalparabel ist \(a=1\). Ist die Parabel gestaucht oder gestreckt wie in diesem Fall, musst du \(a\) ausrechnen. 
Dafür ziehst du den y-Wert des Scheitels (3) vom y-Wert eines Punktes ab, der in x-Richtung eine Einheit links oder rechts vom Scheitel liegt.

Wie du Funktionsterme den Graphen von quadratischen Funktionen zuordnest - Abbildung 3

Der Punkt, der links vom Scheitel liegt, hat die Koordinaten \((0|5)\). Du rechnest also:

\(a=5-3=2\)

Der Punkt rechts vom Scheitel hat die Koordinaten \((2|5)\). Wenn du mit ihm rechnest, erhältst du ebenfalls:

\(a=5-3=2\)

Der Streckungsfaktor ist also 2, womit sich die Formel zu Folgendem ergibt:

\(f(x)=2 (x-1)^2+3\)

Jetzt weißt du, dass b) die richtige Antwort ist.

Lösung

\(g(x) = 2(x-1)^2+3\) ist der Funktionsterm zur abgebildeten Parabel.

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