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Wie du Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken im Raum berechnest


Schritt-für-Schritt-Anleitung

Wie du Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken im Raum berechnest

Aufgabe

In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte \(A(4|0|0)\), \(B(0|4|0)\) und \(C(0|0|4)\) das Dreieck \(ABC\) fest. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\).

Schritt 1: 2 Verbindungsvektoren der 3 Punkte berechnen

Als Erstes musst du zwei Seiten des Dreiecks als Verbindungsvektoren der zugehörigen Eckpunkte darstellen. Welche zwei der drei Seiten du wählst, ist egal. Wir nehmen hier den Punkt \(A\) als Ausgangspunkt für die zwei Seiten \(AB\) und \(AC\) des Dreiecks.

Wie du Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken im Raum berechnest - Abbildung 1

 

\(\begin{align*} \overrightarrow{AB}&=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\\ &=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix}\text{ und}\\ \overrightarrow{AC}&=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\\ &=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}-4\\0\\4\end{pmatrix} \end{align*} \)

 

Schritt 2: Flächenformel anwenden

Jetzt benutzt du die Formel für den Flächeninhalt eines beliebigen Dreiecks \(ABC\) im \(\mathbb{R}^3\):

\(\begin{align*} A&=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|\\ &=\frac{1}{2}\left|\begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-4\\0\\4\end{pmatrix}\right|\\ &=\frac{1}{2}\left|\begin{pmatrix}16\\16\\16\end{pmatrix}\right|\\ &=\frac{1}{2}\cdot 16\left|\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\right|\\ &=8\cdot\sqrt{1^2+1^2+1^2}=8\sqrt{3}\approx 13{,}86 \end{align*} \)

Lösung

Das Dreieck hat also einen Flächeninhalt von etwa 13,86 Flächeneinheiten.

Bemerkung

\(\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|\) ist der Flächeninhalt des von den Vektoren \( \overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\) aufgespannten Parallelogramms. Das in dieser Aufgabe behandelte Dreieck ist die Hälfte dieses Parallelogramms:

 

Wie du Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken im Raum berechnest - Abbildung 2

 

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